Шпора по начерталке - Ответы на нач.гео. №4

14. Поверхности образованные вращением окружности (сфера,, тор)

Рассмотрим наиболее распространенные поверхности вращения с криволинейными образующими:

Сфера — образуется вращением окружности вокруг её диаметра

При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг большой оси то эллипсоид называется вытянутым если вокруг малой — сжатым или сфероидом

Тор — поверхность тора формируется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности

15. Сечение прямого кругового конуса.

В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.

В частном случае (φ=90⁰) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности ; и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конуса.

Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола. В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ<α, то линией сечения является гипербола. В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые

16. Частные случаи пересечение поверхностей 2-ого порядка. Три теоремы о распадении. Пересечение поверхностей проецирующей плоскостью.

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.

Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой.

В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.

Опуская доказательства, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение. Три теоремы о распадении.

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются. Теорема 2.(о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.

Теорема 3. (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.

Пересечение поверхностей проецирующей плоскостью. Для поиска результата пересечения объектов(прямая-поверхность точка, кривая-поверхность точка, плоскость-поверхность-плоская линия, две поверхности —кривая). Необ. Испол. посредники могут вступать проецирующие плоскости (семейство плоскостей), проецирующий цилиндр, поверхность, сферы концерические, семейство сфер экцетрические. Посредники выбираются таким образом чтобы рассекая обе заданные поверхности в результате получались на каждой из них простые в геометрическом смысле линии (это прямая или окружность, которые же надо строить по точкам). В качестве посредника подходит семейство горизонтальных плоскостей. Опред. Зона существование посредника. Определяем опорные точки, точки которые находятся без испол. посредников. При необходимости опред точки перемены видимости.

17. Развертки точные, приближенные и условные. Приближенная развертка наклонного конуса.

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру — ее разверткой.

Развертка будущая свернута по цил. Закону образует заданную поверхность. Развертки бывают точные приближенные и условные. И у поверхности одинаковой кривизной-конус и цилиндр.Для получение приближенной развертки в заданную криволинейную поверхность вписывается гранная поверхность с точностью. Условные развертки — имеют поверхности двойной кривизной, их нельзя без разрыва совместить с плоскостью.

Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды, предварительно вписав в конус n-угольную пирамиду. Если задана поверхность прямого конуса, то развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ=360^о r / l, где r — радиус окружности основания конуса.