Галкин С.В.

Краткий курс математического анализа

в лекционном изложении

для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

вероятность

Москва 2005

Лекция1[1].

Вероятность

В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).

Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.

Пространством элементарных событий W (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {w₁, …w_{n …}}, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.

Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество — это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.

Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (w₁=Г) или решкой (w₁=Р). W=(Г,Р).

Пример. Бросаются две монеты W = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}

 Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку.

W= {(x,y), a<x<b, c<y<d}

Достоверное событие — событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается W.

Невозможное событие — событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается Æ.

Действия над событиями.

События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.

Пространство W будем обозначать прямоугольником, элементарное событие — точкой прямоугольника, а каждое событие — подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.

Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А — выбор червонной карты, событие В — выбор десятки

	Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В (или С = АВ), состоящее из элементарных событий, принадлежащих либо А, либо В. Пример. С = А + В — выбор любой червонной карты или любой десятки
	Произведением двух событий А и В называется событие D = AB (или D = AB), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В. Пример. АВ — выбор десятки червей
	Разностью двух событий А и В называется событие А\В, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В. Пример. А\В —выбор любой червонной карты, кроме десятки Классификация событий
	Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в А, обозначим  и будем называть противоположным событием. Пример. А —выбор червонной карты;  —выбор любой карты другой масти..  = W\А   Два события А и В будем называть совместными, если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е если АВØ. Пример. А — выбор червонной карты и  В — выбор десятки — совместные события, так как АВ = выбор червонной десяткиØ Если общих элементарных событий у событий А и В нет, то их будем называть несовместными событиями (АВ = Ø). Пример. А — выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}. В — выпадение нечетного числа очков В = {1, 3, 5} Очевидно, что А и В несовместны. Полная группа событий — это совокупность n событий А1, А2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т.е.

Свойства операций над событиями

1.  =Ø 6. А = А

2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко. Если А  В, то

3. А А = А 8  = А А + В = В

4. А +  = 9. А В = А

5. А + Ø = А 10.  = Ø

Коммутативность операций

А + В = В + А; А В = В А

Ассоциативность операций

А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С

Дистрибутивность операции сложения относительно умножения

А (В + С) = А В + А С

Дистрибутивность операции умножения относительно сложения

А + (В С) = (А + В)(А + С)

Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

В самом деле, BAÌA, ACÌA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.

Правило двойственности (теорема де Моргана)

Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным

Пример.

Алгебра событий.

Пусть W - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что

1)      SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, A\BÌS.

Следствие Æ= W\W Ì S

Пусть W содержит конечное число элементов, W= {w₁,…w_n}. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств W.

S={Æ, {w₁}, … {w_n}, {w₁,w₂}, …{w₁,w_n}, …{w_n-1,w_n}, …{w_{1, …,}w_n}}, в ней всего 2ⁿ элементов

Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.

Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, A\B, поэтому события должны выбираться из определенного класса — алгебры событий.

Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится s- алгебра событий.

Сигма-алгеброй (s-алгеброй) событий B называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что

1)      AÌBÞÞB,

2) A₁, A₂, …A_n, …ÌBÞ( A₁+A₂+ …+A_n+, …)ÌB, …ÌB.

Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.

Вероятность.

Классическое определение вероятности события

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть N — общее число случаев в Ω, а N_А — число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа N_A случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = {w₁, w₂,…,w₆} N = 6.

А — количество очков кратно трем А = {w₃,w₆} N_A = 2.

.

2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = {w₁₁, w₁₂,…,w₆₆}; N =36.

w_kl = (a_k, b_l), k,l =

А — сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; N_A = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт — вынимается один шар.

А — шар черный.

Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1 (N_A = N);

2) 0 ( 0;

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( N_A+B=N_A+N_B)

и их следствия

4) Р(Ø) = 0 (N_Ø) = 0;

5) Р() = 1- Р(А) (  = Ø, Р(А) + Р() = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (N_A N_B).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций P_k (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена m_r способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можно произвести ту или иную выборку

	Сочетания	Размещения
Без возвращения
С возвращением

Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно P_m==m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 — 51).

Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

1)      Размещения с возвращением

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3² = 9.

2)      Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

3)      Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4)      Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .

Пример. Задача о выборке бракованных деталей.

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует  случаев. Поэтому искомая вероятность равна .

Геометрическая вероятность

Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)= N_A/N представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.

Событие А — волчок касается плоскости точкой из окрашенного сектора. Множество точек на ободе в окрашенном секторе имеет мощность континуума. Делим всю окружность на N маленьких одинаковых дуг. Число дуг на окружности, принадлежащих окрашенному сектору, пусть равно NA. . В общем случае имеется мера mes соответствующая  (в нашем случае mes= 2) и мера mes А, соответствующая А (в нашем случае mesА = )  и т.д.

Пример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на определенном месте, причем первый пришедший на место ждет товарища 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи?

Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x- время прихода первого студента, y — время прихода второго студента.

Тогда множество |x-y|<1/4, 0<x<1, 0<x<1, 0<y<1

содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь) mesA равна 1- (3/4)² = 7/16. Так как mesW =1, то P(A) = 7/16.

Статистическая вероятность

Формулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая равновозможных исходов. В действительности мы на практике имеем место с неравновозможными исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайного события, используя понятие частоты события. Допустим, что нам требуется определить вероятность того, что в испытании произойдет событие А. Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода: А и . Частотой события А будем называть отношение числа N_A испытаний, в которых зафиксировано событие А к общему числу N испытаний.

Вероятностью события А называется предел частоты события А при неограниченном увеличении числа испытаний n, т.е. . Так определяется статистическая вероятность события.

Заметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям для вероятности события P(A) выполнены три основных свойства:

P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A₁+ …+A_n) = P(A₁) + …+P(A_n), если A₁, A_n попарно несовместны. Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными.

А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий, ввел сигма-алгебру событий и распространил третье свойство на счетное число событий. Это дало возможность дать аксиоматическое определение вероятности события.

Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову).

Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма — алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам:

1)      не отрицательность P(A)³0, "AÎB - сигма — алгебре событий на W

2)      нормировка P(W) = 1

3)      расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A₁, … A_n … выполнено

P(A₁+ …+A_n+ …) = P(A₁) + …+P(A_n) +…

(счетная аддитивность).

Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества — события), заданная на сигма — алгебре событий.

Если W состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма — алгебры B может рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3 вероятность любого события A равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих A.

Вероятностным пространством называется тройка (W, B, P).

Свойства вероятности

1)      . В самом деле,,  несовместны. По аксиоме 3 .

2)      P(Æ) = 0. Так как "A A+Æ = A, по аксиоме 3 P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0

3)      Если AÌ B, то P(A) £ P(B). Так как B = A+ B\A, по аксиоме 3 P(B) = P(A) + P(B\A), но по аксиоме 1 P(B\A)³0

Пример. Из урны с четырьмя шарами с номерами 1, 2, 3, 4 три раза наугад вынимают шар и записывают его номер а) возвращая шары б) не возвращая шары. Какова вероятность 1) получить комбинацию 111, 2) из номеров шаров составить возрастающую последовательность?

В случае а) имеем размещения с возвращением, N = 4³, 1), N_A=1, P = ¼³, 2) N_A = , так как возрастающую последовательность можно составить всегда из не повторяющихся номеров, P = / 4³ .