Вопросы к экзамену по аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры

1. Вектор. Орт. Коллинеарные вектора. Равные вектора. Компланарные вектора.

2. Линейные операции над векторами. Свойства.

3. Проекция вектора на ось. Свойства.

4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

5. Действия над векторами, заданным проекциями. Коллинеарность векторов. Радиус вектор точки.

6. Скалярное произведение векторов. Свойства. Запись векторов через координаты векторов -сомножителей.

7. Проекция вектора на заданное направление. Работа постоянной силы.

8. Векторное произведение векторов. Свойства. Запись векторного произведения через координаты векторов-сомножителей. Приложения векторного произведения: установление коллинеарности векторов, определение момента силы относительно точки, нахождение линейной скорости вращения.

9. Смешанное произведение векторов. Свойства. Запись смешанного произведения через координаты векторов - сомножителей. Приложения смешанного произведения: определение взаимной ориентации векторов, установление компланарности векторов, определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

10. Система координат. Прямоугольная и полярная системы координат.

Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.

11. Преобразование системы координат. Параллельный перенос и поворот осей координат.

12. Линия на плоскости. Прямая на плоскости. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой. Нормирующий множитель. Уравнение прямой в отрезках.

13. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.

14. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

15. Угол между двумя прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых на плоскости.

16. Плоскость. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Нормирующий множитель.

17. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.

18. Расстояние от точки до плоскости.

19. Угол между двумя плоскостями. Условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей.

20. Прямая линия в пространстве. Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Общие уравнения прямой. Переход к каноническим уравнениям.

21. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.

22. Линии 2-го порядка на плоскости. Окружность.

23. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса по его уравнению.

24. Каноническое уравнение гиперболы. Исследование формы гиперболы по ее уравнению. Асимптоты гиперболы.

25. Каноническое уравнение параболы. Исследование формы параболы по ее уравнению.

26. Общее уравнение линий 2-го порядка. Теорема о типах линий 2-го порядка. Сведение общего уравнения второй степени к уравнению линии 2-го порядка.

27. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Конические поверхности.

28. Каноническое уравнение эллипсоида. Исследование формы эллипсоида методом сечений.

29. Однополостный гиперболоид. Исследование его формы методом сечений.

30. Двуполостный гиперболоид. Исследование его формы методом сечений.

31. Эллиптический параболоид. Исследование его формы методом сечений.

32. Гиперболический параболоид. Исследование его формы методом сечений.

33. Конус второго порядка. Исследование его формы методом сечений.

Элементы теории линейных пространств

34. Линейное пространство. Аксиомы.

35. Примеры линейных пространств: координатное пространство, пространство трехмерных векторов.

36. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Примеры.

37. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Линейные операции с векторами в координатной форме.

Матрицы и действия над ними

38. Решения систем.

39. Ранг матриц.

40. Теорема Кронекера-Капелли.

41. Формулы Крамера.

42. Теорема Гаусса.

43. Обратная матрица.

44. Алгебраическое дополнение, минор.

45. Определитель.

46. И др. !!!