DOC

Zadachi - Билеты МАТАН

 
 

#1

1. Сформулировать св-ва определённого интеграла. Доказать свойство аддитивности определённого интеграла.

2. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (случай действительных различных корней).

#2:

1. Доказать теорему об оценке определённого интеграла.

2. Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Доказать основные свойства их решений.

#3:

1. Сформулировать свойства определённого интеграла. Доказать теорему об оценке модуля определённого интеграла.

2. Доказать теорему о структуре общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

#4:

1. Определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Доказать признаки сравнения для таких интегралов.

2. Доказать теорему о структуре общего решения неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

#5:

1. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на конечном отрезке интегрирования. Сформулировать признаки сходимости таких интегралов.

2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

#6:

1. Доказать теорему о среднем для определённого интеграла.

2. Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений, их применение и нахождение.

#7:

1. Вывести формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла.

2. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения.

#8:

1. Интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной от интеграла по его верхнему пределу.

2. Сформулировать задачу Коши и теорему Коши о существовании и единственности решения этой задачи для нормальной системы дифференциальных уравнений.

#9:

1. Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла площади плоской фигуры, ограниченной непрерывными кривыми y=f1(x), y=f2(x) и прямыми x=a, x=b (a<b) если f1(x)=<f2(x) на отрезке [a,b].

2. Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.

#10:

1. Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла объема тела по площадям параллельных сечений.

2. Сформулировать задачу Коши и теорему Коши о существовании и единственности решения этой задачи для дифференциального уравнения первого порядка. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения первого порядка.

#11:

1. Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла объёма тела вращения.

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка методом вариации произвольной постоянной.

#12:

1. Определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Доказать признаки сравнения для таких интегралов.

2. Вывести формулу Остроградского-Лиувилля.

#13:

1. Доказать теорему о среднем для определённого интеграла.

2. Доказать теоремы о свойствах частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

#14:

1. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на конечном отрезке интегрирования. Сформулировать признаки сходимости таких интегралов.

2. Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка при одном известном частном решении.


#15:

1. Доказать теорему об оценке определённого интеграла.

2. Определения линейной зависимости и линейной независимости системы функций. Определитель Вронского. Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

#16:

1. Доказать теорему о среднем определённого интеграла.

2. Определение фундаментальной системы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Доказать теорему о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.

#17:

1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной от интеграла по его верхнему пределу.

2. Построение общего решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка в случае действительных различных корней характеристического уравнения (с выводом).

#18:

1. Вывести формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла.

2. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных кратных корней характеристического уравнения (с выводом).

#19:

1. Доказать теорему об оценке модуля определённого интеграла.

2. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных сопряжённых корней характеристического уравнения.

#20:

1. Тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции ограниченной кривой y=f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b (a<b). Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла объёма тела вращения.

2. Доказать теорему о существовании фундаментальной системы решений для линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

#21:

1. Определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Доказать признаки сравнения для таких интегралов.

2. Дифференциальное уравнения второго порядка, разрешенное относительно старшей производной, и задача Коши для него. Сведение этого уравнения к нормальной системе дифференциальных уравнений.

#22:

1. Доказать теорему о среднем значении интеграла.

2. Доказать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

#23:

1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной от интеграла по его верхнему пределу.

2. Доказать теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

#24:

1. Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла объёма тела по площадям параллельных сечений.

2. Определения линейной зависимости и линейной независимости системы функции. Определитель Вронского и его свойства.

#25:

1. Фигура S ограничена лучами φ=α, φ=β (0=<α<β<2π) и кривой ρ=f(phi), где ρ и φ — полярные координаты точки. Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла площади фигуры S.

2. Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.