DOC

Лекции - Линейный интеграл и циркуляция

 
 

17.4. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля.

17.4.1. Определение линейного интеграла. Пусть в пространственной области V определено непрерывное векторное поле (M), L - гладкая кривая, расположенная в V. Линейным интегралом поля  вдоль линии L называется криволинейный интеграл по длине дуги от скалярного произведения (M) на единичный касательный вектор (M): .

Как и поток, этот интеграл может представляться различным образом. Так, если учесть, что произведение  на  даёт изменение радиуса-вектора точки М, т.е. ,то  и . Следовательно, линейный интеграл может быть выражен и через линейный интеграл по координатам.

Физический смысл линейного интеграла: если (M) - силовое поле, то  равен работе этого поля при перемещении материальной точки вдоль линии L (см. раздел 16.3).

17.4.2. Основные свойства линейного интеграла.

17.4.2.1. Линейность. ;

17.4.2.2. Аддитивность. . Направление на каждой из частей L1  и L2 должно быть таким же, как и на всей кривой ;

17.4.2.3. При изменении направления вдоль L линейный интеграл меняет знак. Это следует из того, что вектор (M) меняется на -(M).

17.4.2.4. Если L - векторная линия поля, и движение происходит в направлении поля, то W>0. В этом случае вектор (M) коллинеарен (M), поэтому .

17.4.3. Вычисление линейного интеграла. Как и любой криволинейный интеграл, линейный интеграл вычисляется сведением к определённому интегралу по параметру на кривой; обычно вычисляют криволинейный интеграл . Если кривая при параметрическом задании имеет вид , где - непрерывно дифференцируемые функции, то   Направление интегрирования определяется направлением движения по кривой.

17.4.4. Циркуляция векторного поля. Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по замкнутой кривой С: .

Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную способность поля. Имеется в виду следующее. Если векторные линии поля замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля положительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жидкости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока произвольны; вообразим в объёме V замкнутый контур С. Если в результате движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает вращательной способностью; абсолютная величина циркуляции будет определять угловую скорость вращения (чем больше |Ц|, тем выше скорость); знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направлением интегрирования.

17.4.5. Теорема Стокса. Пусть в пространственной области V задано гладкое векторное поле

(M) и  - незамкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограниченная контуром С. Единичный вектор нормали  выбирается так, что с его конца направление обхода С видно совершающимся против часовой стрелки. Тогда циркуляция поля  по контуру С равна потоку ротора этого поля через поверхность : .

Приведённую формулу называют формулой Стокса в векторной форме. В координатной форме формула Стокса имеет вид

 или

.

Мы примем эту формулу без доказательства.

17.4.6. Пример непосредственного вычисления циркуляции векторного поля и вычисления по формуле Стокса. Требуется вычислить циркуляцию поля  по контуру С, образующемуся в результате пересечения поверхности  с координатными плоскостями.

Решение. Непосредственное вычисление.

.

1.      На АВ , поэтому

 .

2.      На BD , поэтому .

3.        На DА , поэтому . Итак, .

Вычисление по формуле Стокса. Находим ротор поля :. Дальше требуется определить, что мы должны взять в качестве поверхности  (или, как часто говорят, какую поверхность натянуть на контур С). В рассматриваемом случае ответ очевиден - единственная поверхность, которая у нас есть, это цилиндрическая поверхность , следы которой в координатных плоскостях и образуют контур С. Однако возможны случаи, когда удачный выбор поверхности существенно упрощает вычисления. Пусть, например, контур С - окружность, образованная пересечением параболоида  и конуса . В качестве  можно взять и часть параболоида, и часть конуса, опирающиеся на эту окружность, но лучше всего взять часть плоскости , ограниченную этой окружностью. Вернёмся к задаче. Находим нормаль к : , знак взят с учётом того, что должно быть . Теперь ; спроецируем  на Охz: ; . Вычисляем  .

Самостоятельно доказать, что если (M) - плоское поле, и  лежит в плоскости Оху, то формула Стокса сводится к формуле Грина.

17.4.7. Инвариантное определение ротора. Пусть . Возьмём малую плоскую площадку , ограниченную контуром С. По теореме Стокса циркуляция по С равна . Считая, что  мало меняется на , и что поверхностный интеграл равен , получим . Будем теперь крутить площадку вокруг точки М, при этом циркуляция меняется вместе с . Максимальное значение циркуляция получит при , т.е. когда направления  и  совпадут. Следовательно,  указывает направление, вокруг которого циркуляция максимальна и равна . Модуль ротора определяется соотношением .

18. Специальные векторные поля.

18.1. Потенциальное векторное поле.

18.1.1. Определение потенциального поля. Векторное поле (M) называется потенциальным в области V, если существует такое скалярное поле , что (M) для . Поле  называется потенциалом поля (M).

18.1.2. Свойства потенциального поля.

1. Потенциал определён с точностью до произвольной постоянной ().

            2. Разность потенциалов в двух точках  определена однозначно.

3. Если поле (M) потенциально, то линейный интеграл этого поля по любой кривой , целиком лежащей в V, определяется только начальной и конечной точками этой кривой, и не зависит от формы кривой.  . Эта формула, как и в плоском случае, является обобщением формулы Ньютона-Лейбница для потенциального поля.

4. Циркуляция потенциального в области V поля по любому контуру, лежащему в V, равна нулю.

5. Векторная линия потенциального поля в каждой точке М ортогональна эквипотенциальной поверхности ( т.е. поверхности уровня потенциала), проходящей через точку М.

6. Ротор потенциального векторного поля равен нулю:

.

Введём определение безвихревого поля: поле (M), ротор которого в каждой точке равен нулю, называется безвихревым.

Мы доказали, что потенциальное поле необходимо безвихрево. Дальше мы займёмся достаточными условиями потенциальности.

18.1.3. Достаточные условия потенциальности.

Теорема. Если область V и поле (M) удовлетворяют следующим условиям:

1.      V - односвязная область;

2.      Поле (M) - безвихрево (т.е. ),,

то (M) - потенциальное в V поле.

Доказательство. Напомним определение односвязной области: область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области. Нам при доказательстве теоремы придётся строить поверхности, натянутые на контуры; определение односвязности как раз гарантирует, что такие поверхности существуют, и ими могут служить поверхности, образующиеся при деформации контура в точку.

1.                   Докажем, что если выполняются условия теоремы, то линейный интеграл поля (M) по любой кривой , целиком лежащей в V, определяется только начальной и конечной точками этой кривой, и не зависит от её формы. Пусть ASB и ATB - два пути, соединяющие точки А и В. Вместе они образуют замкнутый контур ASBTA. Пусть  - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на этот контур. Тогда по формуле Стокса , так как . Но  .

2. Докажем, что если мы фиксируем точку  и возьмём , то , т.е. определённая таким образом функция  действительно является потенциалом поля (M). Это доказательство полностью повторяет доказательство теоремы пункта 16.3.3.6. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути. Именно, требуется доказать, что . Действительно, пусть  

. Тогда ,

   (на )   (по теореме о среднем) . Точка  удовлетворяет условиям . Устремим , тогда , и .

Аналогично доказывается, что .

18.1.4. Нахождение потенциала. В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия потенциальности поля (M), то , где  - фиксированная точка. Обычно, если в точке О(0,0,0) поле не имеет особенностей, то в качестве точки  берётся именно эта точка; если в этой точке поле не определено, берётся другая точка. Интегрирование ведут по пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В результате получим .

Пример. Доказать, что поле  потенциально, и найти потенциал этого поля.

Решение. Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой односвязной области V, не содержащей точку О(0,0,0). Условие безвихревости поля :

 в координатной форме сводится к равенствам , , . В нашем поле , ,. Находим производные:

 , ; , ; , . Потенциальность поля доказана.

Ищем потенциал. Интеграл  вычисляем по изображённому на рисунке пути, отправляясь от точки М0(0,0,1).  . Если бы мы взяли в качестве точки М0 другую точку М1, то получили бы выражение, отличающееся на некоторую постоянную (более точно, на ); поэтому  .

18.2. Соленоидальное векторное поле.

18.2.1. Определение соленоидального поля. Векторное поле (M) называется соленоидальным в области V, если во всех точках этой области .

Согласно этому определению, поле не может иметь в области V источников и стоков; таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: .

Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.

18.2.2. Свойства соленоидального поля.

1.      Поток соленоидального векторного поля через поверхность , ограничивающую область , равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.

2.      Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность  достаточно для соленоидальности поля (M). Действительно, в разделе 17.3.5. Инвариантное определение дивергенции мы доказали, что , и, так как , то .

3.      Пусть в V имеется изолированный источник (или сток) поля. Если поле (M) соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность , содержащую этот источник, имеет одно и то же значение.

Фраза " в V имеется изолированный источник (или сток) поля" означает, что область V, в которой поле соленоидально, неодносвязна; из V выколота точка, в которой находится источник. Так, поле электрической напряжённости, создаваемое зарядом q, , соленоидально всюду, кроме точки , в которой расположен источник.

4.      Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверхность трубки равен нулю.

18.3. Гармонические поля.

18.3.1. Оператор Лапласа. Пусть функция  имеет непрерывные вторые частные производные. Вычислим . Оператор , с помощью которого по функции  получена функция , называется оператором Лапласа, или лапласианом. Формально его можно получить возведением в скалярный квадрат оператора Гамильтона набла:

.

Можно дать другое представление оператора Лапласа: , и это будет уже инвариантным определением оператора.

18.3.2. Гармонические поля. Скалярное поле  называется гармоническим, если оно удовлетворяет уравнению Лапласа , или . Векторное поле (M) называется гармоническим, если оно является градиентом некоторой гармонической функции, т.е. (M), где .

Из этого определения следует, что гармоническое векторное поле одновременно потенциально и соленоидально, так как . Верно и обратное: если (M) одновременно и потенциально, и соленоидально, то оно является гармоническим. Действительно, из потенциальности , из соленоидальности  , т.е.  - гармонический потенциал. Каждая координата гармонического векторного поля является гармонической функцией.