ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО - ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (I семестр 2003/2004 гг.).

1.       Доказать, что если существует  и  и они равны, то существует .

Теорема. Если  и  и они равны, то .

Доказательство. Пусть  - " последовательность ® a (x_n ¹ a). Пусть далее  - подпоследовательность, у которой , а  - подпоследовательность, у которой .  Þ из условия теоремы о $-нии  следует, что .

Для "e>0 $N>0 такой, что все элементы  и  при  удовлетворяют неравенствам

и , т.е.

.

2.       Доказать, что если функции  и  непрерывны в точке a, то функция  также непрерывна в точке a.

Теорема 1. Если  и , то .

Доказательство. , , где  - бесконечно малые последовательности.

Теорема 2. Пусть  и  ( и  определены на множестве X). Тогда .

Доказательство. Пусть , где  - " последовательность значений аргумента . Тогда . В силу Теоремы 1 . В силу произвольности  Þ .

Теорема 3. Пусть  и , заданные на множестве X, непрерывны в точке a. Тогда  тоже непрерывна в точке a.

Доказательство. Т.к. непрерывные в точке a функции  и  имеют в этой точке  и , то по Теореме 2 , а эта величина равна частному значению функции  в точке a, Þ  непрерывна в точке a.

3.       Доказать, что если функции  и  непрерывны в точке a, то функция  также непрерывна в точке a при условии, что .

Лемма 1. Если , то $N: n³N , которая является ограниченной.

Доказательство. Пусть . Т.к. b ¹ 0, то e > 0. Пусть N = N(e): n ³ N

или .

Т.к.  и , то

.

Следовательно, начиная с номера N  и эта последовательность ограничена.

Теорема 1. Если  и , то .

Доказательство. Из Леммы 1 Þ, что $N: n³N  ограничена. Рассмотрим при n³N . , , где  - бесконечно малые последовательности.

Т.к.  ограничена, а  - бесконечно малая, то  - бесконечно малая, Þ

Теорема 2. Пусть  и  ( и  определены на множестве X). Тогда .

Доказательство. Пусть , где  - " последовательность значений аргумента . Тогда . В силу Теоремы 1 . В силу произвольности  Þ .

Теорема 3. Пусть  и , заданные на множестве X, непрерывны в точке a. Тогда  тоже непрерывна в точке a .

Доказательство. Т.к. непрерывные в точке a функции  и  имеют в этой точке  и , то по Теореме 2 , а эта величина равна частному значению функции  в точке a, Þ  непрерывна в точке a.

4.       Доказать, что функция  не имеет предела в точке x = 0.

Рассмотрим последовательность  значений аргумента, где .

,  Þ функция  не имеет предела в точке x = 0.

5.       Доказать, что  не существует.

Рассмотрим последовательность  значений аргумента, где .

,  Þ  не существует.

6.       Доказать, что  при .

Если , то . Проведем геометрический вывод этого неравенства.

Пусть точка M лежит в первой четверти. x- длина дуги .

Þ  при .

Т.к. при   достигает своего максимального значения, то для "x > 0 .

7.       Доказать, что  при .

1). Докажем утверждение в окрестности 0 (). Разложим  по формуле Маклорена до второго члена с остаточным членом в форме Пеано:

 при .

2). Докажем утверждение при .

 при .

3). Т.к. функции  и  возрастающие при  то из 1) и 2) следует, что

для "x > 0.

8.       Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть y = f(x), где х - независимая переменная. Тогда по определению

dy = f'(x)dx (1)

где dx = Dx. dy называется также первым дифференциалом функции. Покажем, что формула (1) сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = j(x), t - независимая переменная.

y = f(j(t)) º F(t), dy = F'(t)dt.

Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:

F'(t) = f'(j(t))j'(t).

dy = f'(j(t))j'(t)dt.

Но, так как

x = j(t), то dx = j'(t)dt, dy = f'(x)dx, (2)

то есть формула (1) остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = Dx, если же x = j(t), то dx = j'(t)dt ¹Dx.

Из формулы (1) получаем, что

f'(x) = , (3)

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента также и в том случае, когда аргумент является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией какой-то независимой переменной.

9.       Неинвариантность формы второго дифференциала.

Определение. Значение  дифференциала от первого дифференциала dy, взятое при , называют вторым дифференциалом функции y = f(x) (в точке x₀) и обозначают символом .

(1)

Формулы (1) справедливы лишь тогда, когда x является независимой переменной. Рассмотрим второй дифференциал дважды дифференцируемой функции y = f(x) в предположении, что аргумент x является дважды дифференцируемой функцией аргумента t.

Итак,

(2)

Формула (2) отличается от формулы (1) наличием в ней дополнительного и, вообще говоря, не равного нулю члена . Таким образом, в общем случае, второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

10.    Найти производную функции .

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём производная f '(x₀) ¹ 0. Тогда в некоторой окрестности точки у₀ (где у₀ = f(x₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у₀, и f ^-1'(y₀)=.

Доказательство. Из условий теоремы следует: $ [a, b] такой, что y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a, b]. причём a < x₀ < b. Поэтому, согласно Теореме 2 (Теорема 2.  Пусть функция y = f(x) определена, непрерывна и строго монотонна на [a, b]. Тогда множеством её значений является сегмент Y = [f(a), f(b)], на сегменте Y существует обратная функция х =(у), строго монотонная и непрерывная), множеством значений f(x), рассматриваемой на [a, b], является сегмент Y = [f(a), f(b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y₀ Î (f(a), f(b)). Зададим приращение Dy ¹ 0 аргументу обратной функции в точке y₀. Обратная функция получит приращение Dх = f ^-1(y₀ + Dy) - f ^-1(y₀), причем Dх ¹ 0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

(1)

Пусть Dy ® 0, тогда Dх ® 0 в силу непрерывности обратной функции. Но при Dх ® 0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x₀), причем по условию f '(x₀) ¹ 0. Поэтому при Dy ® 0 предел правой части равен . Следовательно при Dy ® 0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у₀ и она равна:

(2)

Теорема доказана.

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим график y = f(x) в окрестности точки x₀. Точке x₀ на этом графике соответствует точка М. Тогда  равна . Производная обратной функции . Т.к. , то формула (2) выражает очевидный факт: .

Функция  определена на интервале , служит обратной для функции , определенной на интервале . Согласно Теореме 1:

при . (3)

Перед корнем знак +, т.к.  на интервале . Учитывая, что , из (3) окончательно получим:

при .

11.    Найти производную функции .

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём производная f '(x₀) ¹ 0. Тогда в некоторой окрестности точки у₀ (где у₀ = f(x₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у₀, и f ^-1'(y₀)=.

Доказательство. Из условий теоремы следует: $ [a, b] такой, что y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a, b]. причём a < x₀ < b. Поэтому, согласно Теореме 2 (Теорема 2.  Пусть функция y = f(x) определена, непрерывна и строго монотонна на [a, b]. Тогда множеством её значений является сегмент Y = [f(a), f(b)], на сегменте Y существует обратная функция х =(у), строго монотонная и непрерывная), множеством значений f(x), рассматриваемой на [a, b], является сегмент Y = [f(a), f(b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y₀ Î (f(a), f(b)). Зададим приращение Dy ¹ 0 аргументу обратной функции в точке y₀. Обратная функция получит приращение Dх = f ^-1(y₀ + Dy) - f ^-1(y₀), причем Dх ¹ 0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

(1)

Пусть Dy ® 0, тогда Dх ® 0 в силу непрерывности обратной функции. Но при Dх ® 0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x₀), причем по условию f '(x₀) ¹ 0. Поэтому при Dy ® 0 предел правой части равен . Следовательно при Dy ® 0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у₀ и она равна:

(2)

Теорема доказана.

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим график y = f(x) в окрестности точки x₀. Точке x₀ на этом графике соответствует точка М. Тогда  равна . Производная обратной функции . Т.к. , то формула (2) выражает очевидный факт: .

Функция  определена на интервале , служит обратной для функции , определенной на интервале . Согласно Теореме 1:

при . (3)

Перед корнем знак +, т.к.  на интервале . Учитывая, что , из (3) окончательно получим:

при .

12.    Найти производную функции arctg x.

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём производная f '(x₀) ¹ 0. Тогда в некоторой окрестности точки у₀ (где у₀ = f(x₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у₀, и f ^-1'(y₀)=.

Доказательство. Из условий теоремы следует: $ [a, b] такой, что y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a, b]. причём a < x₀ < b. Поэтому, согласно Теореме 2 (Теорема 2.  Пусть функция y = f(x) определена, непрерывна и строго монотонна на [a, b]. Тогда множеством её значений является сегмент Y = [f(a), f(b)], на сегменте Y существует обратная функция х =(у), строго монотонная и непрерывная), множеством значений f(x), рассматриваемой на [a, b], является сегмент Y = [f(a), f(b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y₀ Î (f(a), f(b)). Зададим приращение Dy ¹ 0 аргументу обратной функции в точке y₀. Обратная функция получит приращение Dх = f ^-1(y₀ + Dy) - f ^-1(y₀), причем Dх ¹ 0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

(1)

Пусть Dy ® 0, тогда Dх ® 0 в силу непрерывности обратной функции. Но при Dх ® 0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x₀), причем по условию f '(x₀) ¹ 0. Поэтому при Dy ® 0 предел правой части равен . Следовательно при Dy ® 0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у₀ и она равна:

(2)

Теорема доказана.

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим график y = f(x) в окрестности точки x₀. Точке x₀ на этом графике соответствует точка М. Тогда  равна . Производная обратной функции . Т.к. , то формула (2) выражает очевидный факт: .

Функция y = arctg x определена на бесконечной прямой , служит обратной для функции x = tg y, определенной на интервале . Согласно Теореме 1:

(arctg x)’ при. (3)

Учитывая, что tg y = x, из (3) окончательно получим:

(arctg x)’ при .

13.    Найти производную функции arcctg x.

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём производная f '(x₀) ¹ 0. Тогда в некоторой окрестности точки у₀ (где у₀ = f(x₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у₀, и f ^-1'(y₀)=.

Доказательство. Из условий теоремы следует: $ [a, b] такой, что y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a, b]. причём a < x₀ < b. Поэтому, согласно Теореме 2 (Теорема 2.  Пусть функция y = f(x) определена, непрерывна и строго монотонна на [a, b]. Тогда множеством её значений является сегмент Y = [f(a), f(b)], на сегменте Y существует обратная функция х =(у), строго монотонная и непрерывная), множеством значений f(x), рассматриваемой на [a, b], является сегмент Y = [f(a), f(b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y₀ Î (f(a), f(b)). Зададим приращение Dy ¹ 0 аргументу обратной функции в точке y₀. Обратная функция получит приращение Dх = f ^-1(y₀ + Dy) - f ^-1(y₀), причем Dх ¹ 0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

(1)

Пусть Dy ® 0, тогда Dх ® 0 в силу непрерывности обратной функции. Но при Dх ® 0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x₀), причем по условию f '(x₀) ¹ 0. Поэтому при Dy ® 0 предел правой части равен . Следовательно при Dy ® 0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у₀ и она равна:

(2)

Теорема доказана.

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим график y = f(x) в окрестности точки x₀. Точке x₀ на этом графике соответствует точка М. Тогда  равна . Производная обратной функции . Т.к. , то формула (2) выражает очевидный факт: .