Экзаменационные вопросы

Интегральные уравнения и вариационное исчисление.

1. Вариационное исчисление.

Понятие функционала. Первая вариация функционала. Необходимое условие экстремума. Вариационная задача с закрепленными границами. Уравнение Эйлера. Задачи на условный экстремум. Задача с подвижной границей. Достаточные условия экстремума. Понятие о прямых методах вариационного исчисления.

2. Интегральные уравнения.

1)      Классификация линейных уравнений.

Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.

2)      Линейные операторы в бесконечном евклидовом пространстве.

Вполне непрерывный оператор. Теорема о существовании собственного значения и собственного вектора.

3. Однородное уравнение Фредгольма второго порядка.

Существование собственных значений и собственных функций. Вырожденные ядра. Теорема Гильберта-Шмидта.

4. Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма-Лиувилля).

Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

5. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода.

Принцип сжатых отображений. Уравнение Фредгольма с “малым λ”. Теоремы Фредгольма.

6. Уравнение Вольтера.

Метод последовательных приближений.

7. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах.

Уравнение Фредгольма 1-го рода как пример некорректно поставленной задачи. Метод А.Н.Тихонова регуляции решения уравнения Фредгольма 1-го рода.