Mеханика - Механика 12-15

Механика 12

Понятия

Идеально упругое тело — это твердое тело, напряжения которого в каждой точке в любой момент времени зависят только от деформаций в той же точке в тот же момент времени (кроме того, напряжения могут зависеть от Т тем-ры).

Деформация — изменение формы и объема тела (объекта).

Сдвиг — деформация, связанная с изменением углов, между сторонами тела.

Скорость деформации — v=du/dt, где u — смещение частицы.

Коэффициенты тензора деформации с одинаковыми индексами характеризуют деформации растяжения (сжатия) в направлении соответствующей оси. Значит, зная тензор деформаций можно найти изменение длины малого материального отрезка.

Коэффициенты тензора деформации с различными индексами характеризуют деформации сдвига.

В случаях малой деформации, справедлив закон Гука, т.е. между напряжением и деформациями линейная зависимость, где коэффициенты пропорциональности — Модули Упругости.

Тензор деформации ,

где u — вектор смещений u = r (r0,t) —r0, r — радиус-вектор частицы в момент времени t, r0 — радиус вектор той же частицы в первоначальный момент времени. х — координата.

Тензор напряжений ( симметричный тензор) - компоненты вектора являются ф-ми r и t, определяют поле напряжений в среде.

, - поверхностная сила (определяет силу взаимодействия частиц среды между др др) , приложенная к элементарной площадке поверхности частицы

Закон Гука (обобщенный) -

 - модуль упругости, тензор упругости 4го ранга, имеет 81 независимую компоненту, однако из-за различных симметрий требуется лишь 21 независимый модуль упругости, чтобы охарактеризовать упругие свойства твердых тел. - коэффициент термоупругости

Модули:

Модуль Юнга Е характеризует способность твердого тела сопротивляться растяжению (стержень - 1D).

Модуль сдвига G - способность материала сопротивляться изменениям формы, при сохранении объема (пластина — от 2D).

Модуль объемного сжатия К — изменениям объема, при сохранении формы. (кубик воды - 3D)

Коэффициент Пуассона n— т.к. растяжение вдоль направления внешней силы происходит одновременно с его поперечным сжатием, при этом отношение поперечного сжатия к продольному растяжению равно Коэф. Пуассона. Для металлов n=0.3<=0.5

При изотермической деформации и для изотропного тела З-н Гука:

 ,

- Модуль Юнга Е,  - Коэффициент Пауссона n

- модуль сдвига (он же модуль Ламэ),

 - Модуль объемного сжатия (растяжения), - тоже модуль Ламэ

 

Механика 13. Механика жидкостей и газов. Течение идеальной жидкости. Уравнение Эйлера.

Идеальная жидкость — среда ( жидкость или газ) с изотропным тензором напряжений

Идеальная жидкость — сплошная среда, в которой при любой деформации и скорости деформации касательные напряжения пренебрежимо малы поп сравнению с нормальными напряжениями, а все нормальные напряжения одинаковы.

Тензор напряжений

Система Уравнений движения идеальной жидкости:

 - ур-е неразрывности

- ур-е Эйлера, ур-е изменения импульса.

 - ур-е адиабатичности (сколько тепла притекает, столько оттекает)

E=Cv*T — калорическое, р=rRT — термическое уравнение состояния.

Решения этой системы должно удовлетворять граничным (на стенках Vn=0) и в случае нестационарных движений течений — начальным условиям в некот. Момент t0.

Как получаются интегралы движения ид.ж-ти? Добавлением доп. Условий:

1) В случае, изэнтропичных стационарных течений ид. Ж-ти, если объемные силы потенциальны и стационарны, а также приращение энтальпии dh =dp/r

Интеграл Бернулли: , где h=E+ p/r - энтальпия, v — скорость ч-цы

При стационарном течении среды траектории частиц совпадают с линиями тока.

2) В случае если ж-ть идеальна, несжимаема, движется в поле потенциальных сил (V=grad j ), то Ур-я сильно упрощаются, уравнение непрерывности есть Dj=0, ур.е Эйлера в интеграл Коши.

Интеграл Коши:, где С — конст, одинакова для всех ч-ц жидкости, u^e- потенциальная энергия внешнего поля (потенциальные силы также действуют на ч-цу ж-ти)

 

+ Теорема Томпсона о сохранении циркуляции скорости по замкн. Контуру, если силы потенциальны.

Механика 14. Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса. Число Рейнольдса.

Вязкая жидкость — среда в которой напряжения зависят от скоростей деформаций, при этом наряду с нормальными напряжениями, вообще говоря, отличаются от нуля и касательные напряжения.

В число основных ур-ий механики сплошных сред входит ур-е изменения импульса:

, второй член определяет силу, зависящую от скорости движения частиц относительно др. др, есть вязкий тензор напряжений.

Для линейной вязкой жидкости (изотропной):

 

где h и z - первый и второй коэффициенты вязкости, зависят от плотности и тем-ры среды.

Один определяет деформации чистого сдвига, а второй — равномерного сжатия.

Если коэф-ты вязкости можно считать постоянными для данной жидкости, ур-е изм-я импульса для такой ж-ти приводит к Навье - Стокса уравнению

,если жид-ть несжимаема div =0 (1), тогда

 (2), где n - кинем-ая вязкость, а n=h/r, h - динам.-ая

_dS/dt=0 приток тепла = 0.

Граничное условие к ур-ям дв-я вязкой ж-ти есть условие обращения в нуль скорости среды на неподвижной твердой поверхности s0(усл-е прилипания) V|s0=0

Из (1) и (2) и гранич. условия находят поля давления и скоростей. В общем случае движение сжимаемой и нагреваемой жидкости) в Н. - С. у. учитывается ещё переменность r и зависимость h от температуры, что изменяет вид уравнений. При этом дополнительно используются уравнение баланса энергии и Клапейрона уравнение — уравнение состояния.

Рейнольдса число Получается приведением ур-я Навье-Стокса к безразмерной форме. Один из подобия критериев для течений вязких жидкостей и газов, характеризующий соотношение между инерционными силами и силами вязкости: Re =rnl/h, где r - плотность, h - динамический коэффициент вязкости жидкости или газа, n - характерная скорость потока, l - характерный линейный размер. Так, при течении в круглых цилиндрических трубах обычно принимают l = d, где d - диаметр трубы, а v = v_cp, где v_cp - средняя скорость течения; при обтекании тел / - длина или поперечный размер тела, а v = v_¥, где v_¥ - скорость невозмущённого потока, набегающего на тело.

Режим течения жидкости меняется при переходе числа Рейнольдса некоторого критического значения. При Rе < Re_kрвозможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re > Re_kр течение может стать турбулентным. Например, для течения вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубке Re_kр = 2300.

Механика 15. Волны в сплошной среде. Характеристики акустических волн.

Волны с малыми амплитудами и в сжимаемой жидкости — ЗВУКОВЫЕ.

Расс-м звуковые волны в идеальной жидкости. Пусть равновесное состояние характ-ся p0 и r0. Если в среде возникают малые отклонения, то p=p0+p', r=r'+r0

Пусть - производную брали при постоянной энтропии в равновесном состоянии.

Волновое уравнение для отклонения плотности от ее равновесного значения.

, Для p’ — аналогичное уравнение, при v=grad j для j. Все ур-я изменений содержат одну константу  - скорость звука.

В одномерном случае,  и решение волнового ур-я - бегущие плоские волны. Если ф-я гармоническая, то волна называется монохроматической.

Фазовая скорость с=w/k, групповая U=¶w/¶k

Эфф-т Доплера ,- частота в системе связанной с наблюдателем.

V — скорость удаления, приближения, q - угол между направление распространения волны и скоростью удаления (приближения). cosq<0 — удаляющий источник, w<w’ длина волны ниже.

cosq>0 — приближающийся, w>w’

Число Маха M=V/c. V — скорость потока газа, отн. неподвижной системы отсчета. А с — скорость звука в газе. М>1 — сверхзвуковой, М<1 — дозвуковой поток.

Свойства сверхзвукового потока отличны от дозвукового, напр., в таком потоке малые возмущения плотности газа не могут распространятся с любом направлении, лишь в конусе, с углом раствора a, таким что sin a=1/М