zadaniye2
Задание № 2
31. Показать, что из наличия низколежащих уровней 1+,T=1 в ядрах 16O и_
40Ca следует, что в основном состоянии они не являются полностью
вырожденными. Предложить вид волновой функции основного состояния этих ядер.
Решение:
Имеется 2 возбуждённых состояния.Они могут наблюдатся только при переходах
внутри 1 подоболочки (p или d соответственно ) , так как чётность уровня в спектре P=+1.
1-ое состояние возникает при переходе
->
-> T=1
2-ое состояние возникает при переходе
->
-> T=1
32. Доказать, что энергия нуклонной системы минимальна при условии спаривания.
Какие значения могут принимать проекции моментов спаренных нуклонов.
Решение:
Так как остаточное взаимодействие при учете спаривания имеет вид d функции
V1,2 = -V0d(r1-r2) , т.е. взаимодействие возникает при перекрывании трех волновых функций. И наилучшее перекрывание при E = d A —3/4 , где d=+|d| - чет-чет,
d=0 — нечет-чет, d=-|d| - нечет-нечет
33. Дать примеры квантовых состояний с различными значениями квантового числа
s=”seniority”.
Решение:
S=0,1,2
32. Расчитать значение максимальной энергии нуклона и максимального импульса в модели Ферми — Газа.
(5.4)
где N —целое число- соответствует числу заполненных состояний в яме, причем из L>>
следует, что N>>1.
Максимальная энергия частицы в яме называется энергией Ферми
Приращение числа состояний в яме
Чтобы получить число возможных состояний нуклона в потенциальной яме, нужно учесть, две возможные проекции спина нуклона на ось и две проекции изоспина (т.е. протоны и нейтроны). Тогда число состояний должно равняться числу нуклонов А:
Объем ямы равен объему ядра
При этом получено, что
Нуклонная плотность ядер из этих опытов приближенно составляет
Проведя расчет импульса Ферми и учитывая значение константы конверсии, получим
Отсюда значение максимальной кинетической энергии частиц Ферми-газа составляет
33. Оценить среднюю кинитическую энергию нуклонов Ферми-газа
34. Оценить энергию Ферми и среднюю кинетическую энергию нейтронов в нейтронной звезде.
В модели Ферми-газа энергия постоянна.
35+34. Доказать связь характеристик фермиевского движения нейтронов с радиусом нейтронной звезды.
Рассчитаем радиус нейтронной звезды, используя условие энергетического равновесия: .
.
В ядре , тогда из (п3.2) следует:
В нейтронной звезде ; , .
Гравитационная энергия сжатия:
Итак получаем уравнение для определения радиуса:
.
Учитывая, что и , получаем величину радиуса нейтронной звезды: .
36. Определить минимальную глубину потенциальной ямы нуклон-нуклон-
ного взаимодействия из условия существования слабосвязанного состояния
нейтрон-протон (дейтрон) с орбитальным моментом 0.
37. Рождение и поглощение квантов коллективных колебаний в ядрах.
Решение:
Введем операторы рождения и поглощения кванта коллективных колебаний и учтем, что действие оператора рождения переводит систему из состояния с n квантами в состояние с n+1 квантом :
Второе равенство в означает ортонормированность ядерных состояний с данным числом квантов возбуждения. Учтем, что состояние с n+1 квантом может превратиться в состояние с n квантами n+1 способом, т.е.
Аналогичным образом получим
оператор числа квантов в системе имеет вид:
38. Фононный вакуум и состояния с несколькими фононами. Вывод формулы зависимости энергии коллективных колебаний от числа фононов.
Гамильтониан коллективных гармонических колебаний состоит из двух операторов в пространстве волновых функций ядра — операторов кинетической и потенциальной энергии колебаний:
Здесь приведен вид гамильтониана квадрупольных гармонических колебаний с мультипольностью 2 , суммирование проводится только по проекциям момента,т.е. от —2 до +2 через 1. В общем случае в гамильтониан входят члены всех возможных мультипольностей.
Операторы являются операторами обобщенной координаты квадрупольных колебаний и сопряженного этой координате обобщенного импульса. Они связаны известными из квантовой механики соотношениями:
Операторы обобщенной координаты и импульса можно представить в виде линейной комбинации операторов рождения и поглощения:
Подстановка (6.13) в гамильтониан коллективных квадрупольных колебаний приводит к следующему выражению:
Таким образом, решение у.Ш. с потенциалом (6.11) приводит к эквидистантному спектру энергий квадрупольных коллективных колебаний. Низший по энергии уровень, соответствующий фононному вакууму, имеет энергию, равную Расстояние между уровнями спектра коллективных колебаний равно где λ —мультипольность фононного возбуждения.
39.Считая спектр низших возбужденных состояний ядра 60Ni следствием коллективных квадрупольных колебаний, оценить жесткость С ядра никеля.
Энергия одного фононного возбуждения с данной мультипольностью зависит
от свойств ядра, в первую очередь от т.н. «жесткости» ядра С.
Жесткость (rigidity) у ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками выше,
чем у других ядер. Коэффициент D связан с массой колеблющейся системы.
Потенциальная энергия коллективных колебаний определена вторым членом формулы . Среднее значение этой энергии в состоянии с данным числом фононов связано с величиной среднеквадратичной деформации β в состоянии с данным числом фононов. Проведем расчет для случая квадрупольных колебаний (λ=2)
Среднеквадратичная деформация в состояниях с N=0, N=1 и т.д. равна
Вероятность перехода между основным и первым возбужденным состоянием 2+ равна
Из полученного значения среднеквадратичной деформации и величины энергии первого возбужденного уровня получим величину жесткости ядра С:
40. Доказать, что значения спинов двухфононных возбуждений четно-чет-
ных ядер могут составлять только 0,2 и 4 /1 и 3 исключены/.
Значения 1 и 3 исключены. Этот экспериментальный факт является следствием свойств двухфононных волновых функций:
Состояние с одним квадрупольным фононом имеет волновую функцию
Двухфононное состояние имеет волновую функцию
Волновая функция двухфононного состояния с полным моментом количества движения J строится из волновых функций однофононных состояний с помощью коэфициентов векторного сложения (коэфициентов Клебша-Гордона):
Используем нормировку волновых функций и их представление в виде операторов рождения фонона, действующих на вакуумное состояние:
Операторы рождения и поглощения подчиняются соотношению коммутации. Для разных по квантовым числам операторов это соотношение имеет вид:
Используем коммутационное соотношение для преобразования операторной части нормировки (это т.н. процедура Вика- перенос операторов поглощения вправо от операторов рождения)
При подстановке в нормировку двухфононного состояния используем свойства коэфициентов векторного сложения (К.К-Г):
а также то, что сумма квадратов ККГ по всем возможным проекциям равна 1.
Итогом расчета нормировки оказывается соотношение:
Вывод состоит в том, что нормированные на 1 волновые функции двухфононного состояния могут существовать лишь для четных значений спина двухфононного состояния. Значения J=1 и J=3 не имеют физического смысла. Этот теоретический вывод подтверждается экспериментальными данными.
41. Оценить величину среднеквадратичной деформации для однофононных и
двухфононных возбужденных состояний ядра 60Ni.
Оценим величину среднеквадратичной деформации четно-четного ядра 60Ni (Z=28) для однофононного возбужденного состояний из данных по вероятностям Е2 переходов.
Вероятность перехода между основным и первым возбужденным состоянием 2+ равна
(см. БМ, т.2, стр. 55)
Из полученного значения среднеквадратичной деформации и величины энергии первого возбужденного уровня (см.рис.7.2) получим величину жесткости ядра С:
42. Рассчитать средние значения потенциальной и кинетической энергий
квадрупольных колебаний в однофононном и двухфононном состояниях.
Решение:
Средняя потенциальная (а также кинетическая) энергия квадрупольных колебаний в состоянии с N фононами:
43. Доказать ( используя терему Вигнера-Эккарта ), что внешний квадрупольный момент ядер со спином 1 или меньше 1 равен 0.
Решение:
Введем определение электрических мультипольных операторов с мультипольностью λ:
По определению, квадрупольный момент ядра связан с оператором, действующим в пространстве волновых функций ядра:
Измеряемое значение квадрупольного момента определяется как диагональный матричный элемент оператора Q в состоянии с проекцией спина, равной спину. Этот матричный элемент пропорционален диагональному матричному элементу от оператора M:
При расчете матричного элемента оператора квадрупольного момента матричный элемент угловой части имеет следующий вид: .
Используем для его анализа теорему Вигнера —Эккарта(ТВЭ):
Один из выводов из ТВЭ состоит в том, что матричные элементы любого оператора зависят от проекций моментов только через коэфициенты Клебша-Гордона. Для рассматриваемого нами случая диагонального матричного элемента от квадрупольного оператора
Условиями не равенства нулю ККГ являются
.
Таким образом, измеряемый (т.н. внешний) квадрупольный момент ядра равен 0, если спин ядра меньше 1. Он равен 0 для всех четно-четных ядер, хотя многие из них являются несферическими и имеют внутренний квадрупольный момент, отличный от 0.
44. Доказать связь квадрупольного момента ядра со средней квадратичной деформацией.
Проведем расчет квадрупольного оператора . Аналогично расчету среднеквадратичного радиуса используем приближение точечных нуклонов для оператора плотности распределения заряда :
в приближении точечных нуклонов - следующая форма распределения заряда протонов:
Интеграл имеет верхним пределом радиус поверхности ядра. В коллективных колебаниях он представляет собой динамическую переменную и зависит от амплитуды колебаний. Ограничиваясь квадрупольными колебаниями, имеем
В приближенных расчетах считают, что величина внутреннего квадрупольного момента ядра пропорциональна величине β0,т.е.
45. Доказать, что приведенные на схемах (Субатомная физика стр.34) спектры возбуждения представляют собой "вращательные полосы".
Рассчитаем теоретические значения вращательных уровней Hf-180, подобрав значение
для уровня I=2:
То же самое для Dy-160 :
46. Рассчитать моменты инерции ядер Dy-160,Hf-180. Построить график
зависимости моментов инерции от энергий возбуждения.
Для Hf-180:
| J | 2 | 4 | 6 | 8 |
| E,Mev | 0.093 | 0.307 | 0.637 | 1.079 |
| 0.093 | 0.214 | 0.33 | 0.442 | |
|
| 60 | 66 | 66 | 68 |
Для Dy -170:
| J | 2 | 4 | 6 | 8 |
| E,Mev | 0.087 | 0.284 | 0.528 | 0.972 |
|
| 0.087 | 0.197 | 0.246 | 0.444 |
|
| 69 | 71 | 89 | 68 |
47. Рассчитать моменты инерции ядер гафния в приближении твердотельного
ротатора; сравнить с результатами предыдущей задачи.
Для сферы:
è не все нуклоны учавствуют во вращении, крутится только холодное тело
è сверхтекучесть - св-во ядра в низших по энергии состояниях.
48. Привести пример вращательной полосы в спектре нечетного ядра.
Pu -239
49. Привести примеры вращательных полос с различными значениями К.
См. выше.
Энергетические уровни ядра.
Слева изображены все наблюдаемые уровни в энергетическом интервале 0-600 КэВ.
Справа приведено разбиение этих уровней на три вращательных полосы.
Энергетические уровни ядра .
Под каждой вращательной полосой указаны проекция K углового момента на ось симметрии и четность . Сверху над каждым вращательным уровнем указаны спин J и энергия возбуждения E соответствующего состояния. Уровень энергии 821.19 кэВ отвечает квадрупольным колебаниям деформированной ядерной поверхности.
50. Бекбендинг. Привести пример, дать качественное объяснение эффекта.
Таким образом, проведенный в № 47 несложный расчет доказывает, что ядро в низших возбужденных состояниях имеет значения момента инерции, составляющие не более 50% момента инерции твердого ротатора с той же массой. Часть нуклонов ядра оказывается не участвующей во вращательном движении вследствие эффекта спаривания нуклонов, приводящего к сверхтекучим свойствам ядер в основном и низших возбужденных состояниях. Разрыв нуклонных пар, происходящий при очень высоких моментах вращения ядер, проявляется в скачкообразном росте момента инерции ядра до величин близких к полученной выше твердотельной оценке. Этот эффект (т.н. бекбендинг = backbending) хорошо изучен в последние 20 лет на ускорителях тяжелых ионов. Исследование спектров возбуждения ядер проводится, главным образом, путем измерения энергий гамма-квантов, испускаемых ядром при переходе с более высокого уровня на более низкий по энергии.
52. Изоспиновые дублеты и триплеты в ядрах. Считая, что основные состояния ядер 12B и 12N являются членами изоспинового триплета, указать состояние, являющееся средним членом триплета.
Все элементарные частицы, учавствующие в сильных взаимодействиях, можно разбить
на группы с одинаковым изоспином — изомультиплеты,состоящие из частиц с одинаковым I, но разными проециями изоспина .По отнношению к сильному взаимодействию члены изомультиплета ведут себя одинаково.
Понятие изомультиплета относится и к ядрам,
только тут его формируют уровни ядер с одинаковым А, т.е . в изомультиплет входят уроовни разных ядер с разными значениями Z и N, но одинаковым A=N+Z.
В дуплет входит 2 ядра, в триплет —3.
N=2I+1;
Для N=2 - I=1/2,
Для N=3 - I=1
Примером изоспиного дуплета может служить:
,
.
12B:
A=12,Z=5
12C
A=12,Z=6
12N
A=12,Z=7
53. На схемах уровней любых ( по выбору) ядер показать примеры фермиевских и гамов-теллеровских бета-переходов.
54. Сильные, слабые и электромагнитные распады возбужденных состояний ядер. Изомерия атомных ядер.
55. Найти наиболее вероятный путь девозбуждения уровня с энергией больше
5 МэВ для любого (по выбору) ядра.
Расмотрим :
E=5499 keV=5.499 Mev
Енергия отделения протона:
Mev
Енергия отделения нейтрона :
Mev
è наиболее вероятен гамма-переход в основное состояние.
56. Основные члены потенциала нуклон-нуклонных взаимодействий.
- центральный потенциал
-тензорный
-спин-орбитальный
- спин-орбитальный второго порядка
2-й вариант.
Взаимодействие между двумя нуклонами можно описать потенциалом, который будет иметь следующий вид.
Первое слагаемое описывает зависимость ядерного взаимодействия от расстояния между нуклонами
Второе слагаемое описывает зависимость ядерного взаимодействия от спинов нуклонов Третье слагаемое описывает тензорный характер ядерных сил - зависимость ядерного взаимодействия от величины проекции спинов , нуклонов на направление единичного вектора , определяющего взаимное расположение нуклонов.
Четвертое слаглемое описывает зависимость ядерных сил от взаимной ориентации спинового и орбитального моментов нуклона. Ядерное взаимодействие можно также описать, как обмен виртуальными мезонами между нуклонами.
Ядерное взаимодействие можно также описать, как обмен виртуальными мезонами между нуклонами.
57. Получить вид нуклон-нуклонного потенциала, обусловленного обменом