DOC

Механика - I семестр - Ответы на билеты - часть 2-я

 

Билет 1.

Вопрос 1.

Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона. Система отсчёта. Кинематика материальной точки. Закон движения. Скорость, угловая скорость, ускорение, угловое ускорение.

Механика —наука о движении и равновесии тел. При построении теории физика заменяет реальные обьекты их идеализированными моделями. Движение — это изменение относительнеого положения тела с течением времени. Впервые принципы механики сформулированы Ньютоном в «Математических началах натуральной философии». Тело или система тел, относительно которых определяется положение остальных тел называется простанственной системой отсчета (ПСО). В качестве ПСО можно взять произвольное твердое тело и связать с ним координатные оси, например, декартовой системы координат. Существует два вида координатных систем: 1) правая, 2) левая. Определяются они с помощью правила буравчика.

Пространство (по Ньютону) — это совокупность физического тела и возможных его продолжений.

Время — это показание каких-то часов (под часами понимается любое тело или система тел, в которых совершается периодический процесс,служащий для измерения времени).

Материальная точка — это тело, размеры которого пренебрежимо малы, что в рассматриваемом движении их можно не принимать во внимание и считать, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке. Материальная точка — это абстракция, идеализированный образ реально существующих тел.

Движение материальной точки будет описано полностью, если известно ее положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета. Полное описание движения сводится к нахождению трех координат: x = x(t); y = y(t); z = z(t); или к нахождению векторной функции r = r(t). .

— мгновенная скорость.

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки: ,

Понятие угловая скорость и угловое ускорение относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки М на окружности задается углом a, который составляет радиус-вектор точки М с неизменным направлением ОХ. Производная этого угла по времени называется угловой скоростью w: . Если w = Сonst, то движение равномерно. n=w/2p — число оборотов в единицу времени (частота обращения).

Первая призводная угловой скорости и вторая производная угла по времени — это угловое ускорение: . Продифференцируем S=r´a по времени и получаем:

S’=(r’)*a+(a’)*r=w*r

S’’=(w*r)’=r*w’+r’*w=re (тангенциальное ускорение)+v*w (=v2/r — центростремительное).


Вопрос 2.

Стоячие акустические волны. Акустические резонаторы.

При наложении распространяющихся навстречу монохроматических волн одинаковой частоты, амплитуды (например, прямой и отражённой) образуются стоячие волны.

s(t,x)=Acos[w (t—x/c)]—Acos[w (t+x/c)]=2Asin[w x/c]sinw t

В каждой точке порисходит гармоническое колебание с частотой w, причём амплитуда зависит от положения точки по закону: А(х)=2А|sin[wx/c]|

Акустическая волна — это периодическое возмущение плотности среды, распространяющееся в среде со скоростью звука. Периодические возмущения плотности среды называются акустическими колебаниями. Акустические колебания бывают продольными (колебания вдоль направления распространения волны) и поперечными (колебания в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны).

Стоячая акустическая волна — это акустическая волна, которая является суперпозицией прямой и отраженной волны в ограниченной среде. Распределение амплитуды стоячей волны (пучности и узлы) зависит от физических параметров среды и граничных условий.

Акустический резонатор — это устройство, предназначенное для получения резонанса акустических колебаний в среде, заполняющей устройство. Акустический резонатор имеет ряд собственных резонансных частот, каждая из которых имеет собственную добротность и, соответственно, затухание. Ряд колебаний на резонансных частотах резонатора называются модами резонатора.

 Распространенные примеры:

1.       Камертон — устройство для настройки музыкальных инструментов, издающее звук, высота которого соответствует одной из семи нот музыкального ряда.. Для камертона важным является не только долгое ( малое затухание) и чистое звучание, но и возбуждение только одной из мод этого резонатора. Именно форма камертона позволяет возбуждать колебание только одной моды с высокой добротностью. Остальные моды имеют низкую добротность колебаний.

2.       Кварцевый резонатор — это устройство, где в качестве акустической среды используется пластинка кристаллического кварца. Пластинка хорошо отполирована, грани выполнены с высокой степенью параллельности. Длины волн собственных мод колебаний описывабтся уравнением

L = n lр/2,

где lр- длина волны, которая  может испытывать резонанс при длине резонатора L, n — целое число.


Билет 2.

Вопрос 1.

Инерциальные системы отсчёта. Преобразования Галлилея. Инварианты этого преобразования.

Система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно называется инерциальной.

Утверждение впервые высказанное Г. Галилеем, о том, что во всех инерциальных системах координат механические явления протекают одиноково, называется принципом относительности Галилея. В дальнейшем в результате изучений других явлеий, в частности электромагнитных, справедливость этих полоений была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом отнгсительности СТО или просто принципом относиельности

Преобразования Галилея. Рассмотрим систему отсчета, либо неподвижную, либо движущуюся с постоянной скоростью и с единым временем. Для этих систем справедлив принцип относительности Галилея. Имеется система отсчета К и система отсчета К, которая движется со скоростью V относительно системы К.

[x; y; z; t ¬ x; y’; z’; t’]

Физическая сущность этого преобразования составляет принцип относительности Галилея

1.       t = t

2.       DL = DL’ (длины отрезков одни и те же).

Следующие преобразования отражают механический принцип относительности:

x = x — vt ; y = y; z = z; t = t

Обратные преобразования: x = x+ vt ; y = y; z = z; t = t

 (из них можно получить закон сложения скоростей)

Уравнения, остающиеся неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, называются инвариантными.

События, одновременные в одной системе, одновременны и в другой, т. е. утверждение об одновременности двух двух событий имеет абсолютный характер, независимый от системы координат.

Длинна — инвариант преобразований Галлилея. Длинной движущегося стержня наз. расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени. Следуя из этого инвариантность длинны легко доказывается.

Интервал времени явл. инвариантом преобразований Галлилея (Dt=t2—t1=t’2—t’1=Dt’)

Сложение скоростей получается из дифференциирования формул преобразования Галлилея.

Ускорение инвариантно относительно преобразований Галлилея. Это утверждение доказывается дифференциированием преобразований скорости и учитывая, что Dt=Dt’.


Вопрос 2.

Деформации тел. Типы деформаций. Коэффициэнт Пуассона. Законы Гука для одноосного растяжения и сдвига. Связь между модулями сдвига и Юнга.

Деформации тел. Опыт показывает, что под действием приложенных сил тела в той или иной степени меняют свою форму и объем, что на микроскопическом уровне означает относительное смещение атомов, составляющих тело. Такие изменения называются деформациями. В случае твердых тел различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Упругими называют деформации, исчезающие после прекращения действия приложенных сил. Пластическими или остаточными деформациями называют такие деформации, которые сохраняются в теле, по крайней мере частично, и после прекращения действия внешних приложенных сил. Если напряжение (сила, отнесенная к единице площади) не превосходит предела упругости, то возникающая деформация будет упругой. Для удобства описания деформаций мысленно разобьем тело на физически малые объемы (иногда их будем называть частицы), содержащие, однако, большое число атомов. В отсутствие деформаций атомы находятся в состоянии теплового равновесия, а все малые объемы — в механическом равновесии. Тогда сумма сил и моментов сил, действующих на выделенный объем со стороны примыкающих к нему других объемов, будет равна нулю. Изменения положений атомов при деформациях приводят к тому, что в теле возникают внутренние силы, или внутренние напряжения, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Только соседние атомы или молекулы эффективно взаимодействуют друг с другом.

Типы деформаций. Коэффициент Пуассона. При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям — растяжению (сжатию) и сдвигу. При растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины d1. Такое поперечное сжатие характеризуется параметром e^=(d1—d)/d=Dd/d. Продольный размер изменяется на Dl и характеризуется величиной e=(l1l)/l=Dl/l. Опытным путем установлено, что отношениек e^ к e приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. Поэтому в теории упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона:

m=—(e^/e)

Подсчитаем численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, подсчитаем изменение объема резинового шнура:

V=ld2, V1=l1d12=l(1+e)d2(1+e^)2= [раскроем скобки и пренебрегём e^2, 2ee^, ee^2] »V(1+e+2e^)

DV/V=(V1V)/V»e+2e^=e(1—2m).

Законы Гука. В ряде практически важных случаев напряжения определяются только деформациями. Такие тела называются абсолютно упругими телами, или упругими телами. Замечательным свойством таких тел является способность полностью восстанавливать свою форму после снятия внешних усилий, прикладываемых к телу. Рассмотрим, например, растяжение (или сжатие) стержня под действием силы F, приложенной перпендикулярно к торцевой грани с площадью сечения S. При последовательном возрастании нагрузки вначаледеформации развиваются равномерно по длине стержня и растут пропорционально нагрузке: e=(l1l)/l=F/SE=s/E. Величина s =F/S называется нормальным напряжением в торцевом сечении стержня. Пропорциональность деформаций e соответствующим напряжениям выражает закон Гука. Е — модуль Юнга. Закон Гука окончательно записывают в виде e=s/Е.

Опыт показывает, что этот закон выполняется лишь в определенном интервале напряжений. При некотором напряжении появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение s называется пределом упругости. Закон Гука выполняется только в части области упругости — области пропорциональности. При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. рост удлинения образца при постоянной нагрузке , называемой пределом текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. За пределами области текучести дальнейшее удлинение стержня сопровождается увеличением s. Однако деформации будут распределены уже неодинаково по длине стержня — в некотором месте можно заметить образование шейки. При напряжении sM , называемом пределом прочности, в этом ослабленном сечении происходит разрыв. Аналогичными оладают и деформации сдвига. Вобласти пропорциональности связь между деформацией и касательным напряжением задаётся соотношением: g=F/(GS)=st/G, где st=F/S — касательное напряжение, а G — модуль сдвига.


Установим зависимость G от Е. Обратим внимание на то, что квадратная грань ABCD параллелепипеда (рис. 1.9), находящегося внутри рассматриваемого кубика, превращается при деформации в ромбическую грань A’B’C’D’. Совершенно ясно, что параллелепипед испытывает сдвиговую деформацию, а его объем при этом практически не изменяется. Величину угла сдвига a можно легко связать с деформацией удлинения e=Dl/l  и коэффициентом Пуассона m=—e^/e. Из треугольника A'OD’ следует, что:


Поскольку b <<1, то

В последней формуле учтено, что em << 1. Сила F, растягивающая кубик (рис. 1.10), создает нормальное напряжение s=F/l2. Это напряжение передается на грани AB и BC параллелепипеда, однако силы, действующие на каждую из граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани составляющую Ft. Касательное напряжение оказывается при этом равным: (1.24)

Поскольку деформации e в формуле (1.23) пропорциональны напряжениям, а s=2st, то: a=2(1+m)st/E. Сравнивая последнее равенство с соотношением g=F/(GS)=st/G и учитывая, что g=tga»a, получаем то, что искали: G = E /2(1+m).


Билет 3.

Вопрос 1.

Понятие массы, импульса, силы в механике Ньютона. Законы Ньютона и их инвариантность относительно преобразований Галилея.

Масса:

1) Всякое тело оказывает сопротивление при попытках изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Масса - мера инертности.

2) Изолированная система — система тел, настолько удаленных от всех остальных тел, что они практически не оказывают действия на рассматриваемую систему.

Рассмотрим изолированную систему из двух материальных точек (их скорости много меньше скорости света). Dv1,Dv2 - приращения скоростей м.т. за одинаковый Dt. Из опыта: m1Dv1=—m2Dv2, где m1, m2 - положительные величины, не зависящие от характера взаимодействия между м.т., от Dv1 и Dv2, а зависящие только от самих м.т. Тогда m1, m2 — инертные массы м.т. 1 и 2.

Импульс: p=m×u - импульс м.т. Импульс системы м.т. - p=p1+p2+...+pn

Сила: Сила - любая причина, изменяющая импульс движущегося тела (мера взаимодействия). Одно из количественных определений: mr¢¢=F.

Законы Ньютона:

I. Существуют такие системы отсчета, в которых изолированная точка движется прямолинейно и равномерно (инерциальные системы отсчета).

II. (уравнения движения м.т.): (mu)¢=F. (в исо)

III. Силы взаимодействия двух м.т. равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей их.

В замкнутой системе из двух м.т. p1+p2=const (из m1×Dv1=-m2×Dv2) Þ p1¢=- p2¢ Þ F1=- F2

Следствие из III (закон сохранения импульса замкнутой системы м.т.): (1) , где (2) - полная внутренняя сила, действующая на j-тую частийу системы м.т.,

(3) - полная внешняя сила, действующая на j-тую частийу системы м.т.

Тогда (4)Þ(5)

Инвариантность:

S - исо, S¢ движется относительно S с V (V<<c).

V

 

r¢

 

r

 

 

O

 

 

S

 

 

z

 

 y¢

 

 y yyyy

 

 М

 

Замкнутая система — это система, удалённая от остальных тел, на которую не оказывается действие.

Рассмотрим изолированную систему из двух мат. Точек, после взаимодействия их скорости изменятся на DV1 DV2