Раздел IV. Проводящая среда в магнитном поле

1. Система уравнений самосогласованной задачи

До сих пор мы рассматривали движение вещества под действием объемных сил тяжести. Представляет интерес рассмотреть движение проводящего вещества в электромагнитном поле. Возникающие при движении токи порождают электромагнитные поля, которые могут оказывать влияние на движение среды, поэтому рассмотрим уравнения, описывающие самосогласованную систему среда + поле.

Построим систему уравнений для описания самосогласованной задачи. Выделим 3 группы уравнений.

I.                   Система уравнений механического движения сплошной среды состоит из двух уравнений:

1.         Уравнения непрерывности

2.         Уравнения Эйлера

Мы рассматриваем идеальную жидкость, для которой тензор напряжений имеет вид , и плотность объемных зарядов которой равна нулю. Механическое воздействие поля на такую проводящую среду определяется силами Ампера, пропорциональными токам проводимости. Объемная плотность этих сил определяется выражением

.

II.                Термодинамические уравнения, включающие термическое и калорическое уравнения состояния системы

, ,

а также уравнения процессов, происходящих со сплошной средой.

В приложениях часто ограничиваются адиабатическими процессами, в которых теплообменом можно пренебречь, и влияние поля на состояние вещества мало, так что второе начало термодинамики

приводит к уравнению

.

III.             Уравнения, определяющие поле в движущейся среде — уравнения Максвелла

, ,

, ,

Здесь мы предполагаем, что электрическая и магнитная проницаемость вещества равна единице, а плотность объемных зарядов в среде равна нулю.

Если ограничиться квазистационарными процессами, то в уравнениях Максвелла можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости (). В этом случае уравнения Максвелла еще больше упрощаются, поскольку теперь можно положить .

Уравнения Максвелла устанавливают связь между плотностью тока проводимости и напряженностью магнитного поля, что позволяет определить плотность силы Ампера, действующей на проводящую среду, как функцию поля.

.

Уравнение Эйлера для квазистационарных процессов удобно записать в виде:

.

2. Тензор напряжений для проводящей среды в магнитном поле

Плотность силы Ампера  можно представить в виде

воспользовавшись тождеством .

В тензорной форме выражение для плотности силы Ампера имеет вид:

.

Поскольку  плотность силы Ампера  представима в виде производной от симметричного тензора

.

Тензор  называется- максвелловским тензором магнитных напряжений.

Представление объемных сил Ампера в той же форме, что и поверхностных, позволяет описать взаимодействие в среде с помощью тензора напряжений. Для идеальной жидкости в магнитном поле тензор напряжений определяется выражением:

.

Уравнение Эйлера в этом случае приводится к виду:

.

3. Уравнения Максвелла в среде с высокой проводимостью

В уравнения Максвелла входит выражение для плотности тока в среде. В соответствии с нашим предположением, что объемные заряды отсутствуют, ток в среде является током проводимости, плотность которого пропорциональна скорости упорядоченного движения (дрейфа) носителей в веществе :

здесь  - концентрация носителей заряда . В соответствии с законом Ома будем считать, что эта скорость пропорциональна сумме сил, действующих на носители в веществе со стороны поля:

В неподвижных проводниках дрейф носителей обусловлен обычно электрическими полями. В рассматриваемом случае проводники могут перемещаться, поэтому на носители действует еще и сила Лоренца, пропорциональная скорости их движения в данной системе отсчета. Скорость эта складывается из скорости движения проводников и скорости дрейфа. Полагая, что скорость дрейфа носителей много меньше скорости движения среды , запишем соотношение для скорости дрейфа носителей в виде

.

Это позволяет записать закон Ома, учитывающий действие сторонних (неэлектрических) сил в дифференциальной форме

.

В случае среды, обладающей высокой проводимостью, заметная плотность тока возникает при малых силах, действующих на носители. В пределе можно считать, что эти силы пренебрежимо малы, что соответствует квазиравновесным состояниям носителей в веществе, когда

.

Это значительно упрощает уравнения Максвелла, поскольку позволяет исключить из них электрическое поле. В этом случае  и уравнение Максвелла приводит к условию квазистатичности

4. Условия «вмороженности» силовых линий

Напомним, что векторное поле, линии которого в любой момент проходят через одни и те же частицы среды, называется «вмороженненным». Условие вмороженности силовых линий магнитного поля в вещество имеет вид:

В веществе высокой проводимости скорость и напряженность магнитного поля связаны условием квазистатичности

.

Используем тождество

.

Из уравнений Максвелла , а в случае несжимаемой жидкости и , поэтому для несжимаемой жидкости условие квазистатичности при высокой проводимости приводит к уравнению

.

Вводя субстанциальную производную , нетрудно получить связь между вектором скорости и напряженности магнитного поля в несжимаемой среде (жидкости) высокой проводимости

,

Но это как раз условие «вмороженности» силовых линий поля в вещество, рассмотренное выше.

Следовательно, силовые линии магнитного поля «вморожены» в несжимаемом веществе высокой проводимости.

5. Теорема об изменении энергии

Умножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно уравнение, описывающие изменение плотности энергии проводящей среды в магнитном поле:

.

Левая часть этого уравнения преобразуется к виду:

.

Для преобразования последнего слагаемого воспользуемся уравнением непрерывности:

.

В итоге левая часть уравнения принимает вид:

(а)

Для вычисления мощности поверхностных сил давления в среде  воспользуемся первым началом термодинамики

,

которое с учетом уравнения непрерывности можно записать в виде:

.

Из этого выражения с учетом уравнения непрерывности получаем

.

Отсюда для адиабатических процессов  мощность сил определяется выражением

. (б)

Выражение для мощности силы Ампера также удобно преобразовать, учитывая свойства смешанного произведения векторов:

В рассматриваемом квазистатическом случае для вещества высокой проводимости , так что

.

Учитывая тождество  и уравнение Максвелла ,

выражение для мощности силы Ампера можно представить в виде:

. (в)

Равенства (а), (б) и (в) приводят к уравнению

,

которое можно рассматривать, как уравнение для изменения плотности энергии вещества и поля:

Здесь  - плотность энтальпии, а  - плотность потока энергии поля.

6. Волны в несжимаемой проводящей среде

В качестве примера рассмотрим возможность существования и свойства волновых решений в несжимаемой

,

электронейтральной проводящей среде

в магнитном поле

в квазистатическом случае

.

Предположим, что среда первоначально покоилась, а отклонения от исходного состояния достаточно малы:

, ,

где ,  и носят волновой характер.

Будем искать решение системы линеаризованных уравнений

, ,

в виде плоских волн

, , .

В этом случае операция дифференцирования сводится к умножению на соответствующее число, что приводит к системе алгебраических уравнений:

, , ,

.

Раскрывая векторные произведения, получим систему:

, , ,

.

Умножая скалярно последнее уравнение системы на  и учитывая первые два уравнения, получим систему:

, .

Система уравнений

имеет нетривиальное решение, если частота удовлетворяет условию:

.

Это дисперсионное уравнение определяет групповую скорость волны, направленную вдоль поля :

.

Возникающие волны являются поперечными, т.к.  и , а амплитуды возмущений магнитного поля, давления и скорости пропорциональны друг другу:

, .

Эти волны называются волнами Альфвена.