Матрицы / Обратная матрица
.docОбратная матрица
Матрица называется обратной квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица:
Пример 1. Проверить является ли матрица обратной по отношению к матрице .
Вычислим произведение матриц:
.
Так как выполняется условие , то матрица В является обратной матрице АВ = Е.
Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно чтобы ее определитель не равнялся нулю.
Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной и для нее не существует обратной матрицы. Матрица, определитель которой не равен нулю |А| ≠ 0, называется невырожденной.
Алгоритм нахождения обратной матрицы.
Находим определитель исходной матрицы А. Если |А| = 0, то матрица является вырожденной и обратной матрицы не существует. Если |А| ≠ 0, то обратная матрица существует.
Находим алгебраические дополнения Аij всех элементов матрицы А, составляем промежуточную матрицу из этих алгебраических дополнений и транспонируем промежуточную матрицу:
Составляем обратную матрицу по формуле:
Пример2 .Найти матрицу обратную матрице А:
Решение.
1. Определитель матрицы А
Матрица А невырожденная.
2.Находим алгебраические дополнения Аij всех элементов матрицы А:
.
3.Составляем обратную матрицу по формуле
Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формуле :