Функции / Линии второго порядка / Линии второго порядка.Построение
.docЛинии второго порядка
Все кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола в некоторой системе координат могут быть записаны с помощью уравнения
, причем
Если при этом:
, то уравнение задает окружность;
– уравнение определяет эллипс;
– уравнение определяет гиперболу;
, то линия является параболой.
В практических задачах встречается параллельный перенос эллипса:
Уравнение задаёт эллипс с большой полуосью «а», малой полуосью «в» и центром симметрии в точке .
Изобразим на чертеже эллипс .
Согласно формуле: , то есть наш подопытный эллипс «переехал» в точку : Значения остались прежними, а вот фокусы, разумеется, мигрировали, и формулы их координат придётся находить с поправкой на соответствующие сдвиги:
Здесь всё обходится значительно проще, чем при повороте, и если по условию не нужно приводить уравнение к каноническому виду, то лично я предпочту оставить его в виде .
Что делать, если нужно приводить?
«Чайникам» в большинстве случаев простят фразу: «Осуществим параллельный перенос эллипса в начало координат и перепишем уравнение в каноническом виде: ».
Но академический подход предполагает параллельный перенос не самой фигуры, а системы координат!
Поэтому людям, изучающим высшую математику по профилю и/или углублённо, гораздо лучше завернуть примерно следующее: «С помощью параллельного переноса исходной системы координат перейдём к новой прямоугольной системе координат
с началом в точке и запишем уравнение эллипса в каноническом виде ».
Задание. Определить тип линии и построить
Преобразуем выражение , выделив полные квадраты.
Уравнение задаёт окружность радиуса
с центром в точке .
Таким образом, в практических задачах часто предварительно нужно выполнить обратное действие – выделить полные квадраты. Данный приём подробно разобран на уроках о геометрических преобразованиях графиков и интегрировании дробей. Хотя следующий простой пример не должен вызвать у вас затруднений даже без отработки данного метода:
Задание. Записать каноническое уравнение гиперболы (x-5)2 + y2 = 5(x-1)2.
Решение. Преобразуем уравнение к каноническому виду.
х2 - 10х + 25 + у2 = 5х2 - 10х + 5, получим: 4х2 - у2 = 20.
Разделим обе части уравнения на 20:
Это каноническое уравнение гиперболы. Из него видно, что действительная полуось равна а= , а мнимая b= .