![](/user_photo/_userpic.png)
ЛЕКЦИЯ 6. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ.
ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] Глава 14. §14.1,14.2,14.4
§ 6.1 Устойчивость задачи Коши.
Как известно из теории ОДУ задача Коши является корректной: ее решение существует и непрерывным образом зависит от правой части и начального условия. Рассмотрим более подробно вопрос об устойчивости задачи Коши.
Для этого рассмотрим две задачи A и B:
A)
B)
(6.1)
(6.2)
Задача В – является
«возмущенной» по отношению к задаче А
: здесь внесено возмущение как в начальное
условие
,
так и в правую часть
.
Обозначим
через
,
.
Вычтем из задачи А задачу В. Получим:
Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:
,
где
,
где
промежуточное значение между
и
.
Тогда погрешность
удовлетворяет следующей задаче Коши:
Представим
полученную задачу в виде двух более
простых задач:
а)
б)
Здесь
отвечает за погрешность в начальных
условиях, а
за погрешность в правой части уравнения.
Решениями задач а) и б) являются функции:
,
.
Рассмотрим
первую функцию. Число
играет роль коэффициента роста ошибки.
Так как
,
то знак производной
оказывает существенное влияние на
поведение погрешности
:
если
,
то
монотонно возрастает и начальная
погрешность
возрастает. При этом, естественно, что
решение становится неустойчивым. Если
же
,
то исходная погрешность с ростом t
монотонно
убывает, интегральные кривые сближаются.
В случае, когда производная
незнакопостоянна, поведение погрешности
неизвестно.
Важно отметить следующее: если рассматривается решение задачи на конечном отрезке, то рост ошибки будет ограниченным, так как:
Поэтому функцию можно оценить так:
Возвращаясь к исходной задаче, получим неравенство:
Или:
(6.3)
Оценка (6.3) выражает
устойчивость решения задачи Коши по
начальным данным и правой части. Здесь
.
Величина K(T)
играет роль числа обусловленности
задачи.
§6.2 Сходимость численного метода.
Для k-
шагового метода будем считать, что
известны значения
Тогда каноническая форма явного k-шагового метода примет вид:
(6.4)
известны.
Каноническая форма неявного k-шагового метода имеет вид:
(6.5)
известны.
Выражение (6.5)
отличается от (6.4) тем, что в левую, и
в правую части входит неизвестное
значение
.
ОПР. Будем называть задачу (6.5) k -шаговым неявным разностным методом или дискретной задачей Коши в канонической форме.
Наряду с задачей (6.5) рассмотрим «возмущенную задачу» :
(6.5*)
известны.
В этой задаче
погрешность содержится в начальных
данных и в правой части уравнения
.
ОПР. Будем
называть дискретную задачу Коши (6.5) и
соответствующий численный метод
устойчивым на конечном отрезке, если
при всех
справедливо неравенство:
(6.6)
где
величина K(T)
не зависит от
,
,
h.
Неравенство (6.6) является дискретным аналогом неравенства (6.3) .
ОПР. Пусть
y(t)
– решение задачи Коши. Назовем сеточную
функцию
,
определяемую
формулой
(6.6)
Погрешностью аппроксимации на решении y(t).
Замечание. Из определения следует, что функция y(t) удовлетворяет уравнению (6.5) с
точностью до погрешности аппроксимации.
Сеточную функцию используют для предварительной оценки того, насколько точно
аппроксимируется дифференциальное уравнение сеточным аналогом
ОПР. Говорят,
что разностное уравнение аппроксимирует
исходное дифференциальное уравнение
с p-ым
порядком, если
,
p>0
Cправедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 6.1. Пусть численный метод устойчив на конечном отрезке и имеет порядок аппроксимации p. Тогда если начальные значения заданы с р-ым порядком точности, то и метод сходится с р-ым порядком точности по h.
Доказательство:
Пусть
-
величина погрешности аппроксимации на
i-ом
шаге.
Так как метод устойчив, то справедливо неравенство:
Заметим,
что здесь в качестве функции
взята функция
-
точное решение задачи.
Учитывая,
что
,
окончательно неравенство примет вид:
ч.т.д.
Далее будем изучать вопрос устойчивости метода к малым погрешностям входных данных.
Пусть
- решение, соответствующее значениям
,
а
-
решение той же задачи, соответствующее
начальным значениям
.
Если
отрезок
и
шаг h
фиксирован, то устойчивое решение
непрерывным образом зависит от начальных
значений и справедливо неравенство:
(6.7)
Величина K(T) играет роль числа обусловленности задачи.
Нуль -устойчивость
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Метод называется нуль-устойчивым, если для решения задачи Коши с дифференциальным уравнением
(6.8)
выполняется условие:
Где
не зависит от h,
=
,
i=0,
…k-1.
Исследуем вопрос, когда метод обладает свойством нуль-устойчивости.
Запишем метод (6.5) для модельного уравнения . Тогда:
(6.9)
Здесь
коэффициенты
известны, а неизвестны значения
.
Такие уравнения называются линейными
разностными уравнениями k-го
порядка.
Пусть - решение того же уравнения, соответствующего возмущенным начальным значениям:
.
(6.10)
Тогда в силу линейности:
(6.11)
Будем
искать частное решение задачи в виде:
.
Тогда
,
Сократив
это уравнение на
,
получим:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ,
Многочлен
называется характеристическим
многочленом, а уравнение
(6.12)
Называется характеристическим уравнением.
Известны следующие факты из теории конечно-разностных уравнений:
1. Пусть q - простой корень характеристического уравнения (6.9). Тогда функция является решением разностного уравнения (6.9).
2.
Пусть q-
кратный корень характеристического
уравнения кратности m.
Тогда ему отвечают частные решения
уравнения (6.9) вида :
.
Пусть
-
корни характеристического уравнения
(7.7), a
- их кратности. Тогда всякое решение
уравнения (7.5) может быть представлено
в виде:
(6.13)
В частности, если все корни - простые, то справедливо представление:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Будем говорить, что выполнено корневое
условие,
если все корни
характеристического уравнения лежат
внутри или на границе единичного круга
комплексной плоскости
,
причем на границе единичного круга нет
кратных корней.
Заметим, что q=1 всегда является корнем характеристического уравнения..
ТЕОРЕМА. 6.2 Для того, чтобы метод обладал нуль-устойчивостью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось корневое условие.
Необходимость. Пусть метод обладает свойством нуль-устойчивости, но корневое условие
не
выполнено. Тогда характеристическое
уравнение имеет или простой корень q
,
или
корень кратности
такой,
что
. Ясно, что и в первом случае (
)и
во втором случае, когда
.
Начальные погрешности
могут быть сделаны сколь угодно малыми,
но в то же время
при
.
Достаточность вытекает из представления решения (6.13)
.
ТЕОРЕМА.6.3. Методы Рунге-Кутты и Адамса обладают свойством нуль-устойчивости.
Доказательство: методам Рунге-Кутты соответствует однородное разностное уравнение:
,
а ему в свою очередь соответствует
характеристическое уравнение
.
Последнее
уравнение имеет корень
,
то есть корневое условие выполнено.
Аналогично, k-шаговому методу Адамса соответствует разностное уравнение
А
ему соответствует характеристическое
уравнение
.
Последнее уравнение имеет один простой
корень q=1и
корень q=0
кратности k-1,
то есть корневое условие выполняется.
ПРИМЕР. Рассмотрим следующий метод:
Метод является явным двухшаговым методом. Найдем порядок аппроксимации и исследуем метод на нуль-устойчивость.
-
---
=
=
.
Метод имеет второй порядок аппроксимации по h.
Исследуем метод на нуль-устойчивость.
Запишем характеристическое уравнение:
,
- корневое условие не выполнено. Метод
не является нуль-устойчивым.
Используя данный метод, найдем решение следующей простой задачи.
ПРИМЕР.
Ясно, что решением данного уравнения является функция y(t)=sin(t).
Возьмем h=0.05 и выполним табулирование точного решения и найдем для сравнения решение методом Эйлера.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y точное |
0 |
0.04998 |
0.09983 |
0.14944 |
0.19867 |
0.2474 |
0.29552 |
0.34290 |
Yэйлера |
0 |
0.05 |
0.09994 |
0.14969 |
0.19913 |
0.24813 |
0.29658 |
0.34434 |
Y метода б/п |
0 |
0.04998 |
0.09986 |
0.14944 |
0.19876 |
0.24733 |
0.2958 |
0.34252 |
Y метода С начальной
погрешностью |
0 |
0.04 |
0.10984 |
0.1195 |
0.24866 |
0.13757 |
0.50536 |
-0.08658 |
Графики:
Это 20%.
Оказывается, что для линейных многошаговых методов выполнение корневого условия гарантирует не только нуль-устойчивость, но и устойчивость на конечном отрезке.
ТЕОРЕМА.
Пусть
и
выполнено корневое условие. Пусть для
неявного метода выполнено условие на
шаг:
.
Тогда метод устойчив на конечном отрезке.