![](/user_photo/_userpic.png)
ЛЕКЦИЯ 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] §§11.5, 11.8 - 11.10
[2] §§1,2
§11.1 Краткие сведения из предыдущей лекции.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ,
Пусть функция
задана
на множестве дискретных точек
,
,
…
,
предполагаем дополнительно, что
при
.
Задача интерполяции состоит в построении
функции
такой, что
,
.
Будем приближать функцию интерполяционным
многочленом
степени n.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен
степени n,
удовлетворяющий условию
,
называется интерполяционным многочленом.
ТЕОРЕМА 10.1. Интерполяционный многочлен существует и единственен.
Многочлен Лагранжа имеет следующего вид:
(11.1)
ПОГРЕШНОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина
называется
остаточным членом интерполяции.
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА10.2. Пусть функция
дифференцируема (n+1)
раз на отрезке [a,b],
содержащем узлы интерполяции
.
Тогда для погрешности интерполяции в
точке
справедлива оценка:
(11.2)
Где
,
МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА С КОНЕЧНЫМИ РАЗНОСТЯМИ.
Пусть функция
задана
на множестве дискретных точек
,
,
…
значений аргумента с постоянным шагом
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конечной разностью 1-го порядка называется величина
(11.3)
С помощью конечных разностей можно записать интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями при интерполировании вперед.
(11.4)
§11.2 Многочлен ньютона с разделенными разностями .
Пусть функция задана на множестве дискретных точек , , … значений аргумента с произвольным (не обязательно постоянным ) шагом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Величины
;
=
(11.5)
называются разделенными разностями первого порядка. Разделенные разности второго порядка определяются формулой:
;
;
=
(11.6)
Аналогично определяются разделенные
разности третьего и более высоких
порядков. Общее определение разделенной
разности порядка
таково:
(11.7)
Аналогично таблице конечных разностей строят таблицу разделенных разностей
Разделенные разности обладают следующими свойствами:
1.Разделенная разность является
симметричной функцией своих аргументов,
то есть ее значение не меняется при
любой перестановке своих аргументов
,
,
,…
.
2.Пусть функция
имеет на отрезке, содержащем точки
,
,
,…
,
производную порядка k.Тогда
справедливо равенство:
.
3. В случае, когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг h,разделенная и конечная разности связаны равенством:
Интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями имеет вид:
+…
+
(11.8)
ПРИМЕР.11.1 Таблично заданную функцию запишем в виде вертикальной таблицы:
Теперь запишем многочлен:
Найдем значения
:
,
В практическом плане формула обладает
рядом преимуществ перед формулой
Лагранжа. Пусть, например, необходимо
увеличить степень интерполяционного
многочлена, добавив в таблицу еще один
узел
.
При использовании формулы Лагранжа это
приведет не только к увеличению числа
слагаемых, но и к необходимости вычислять
каждое из них заново. В то же время для
вычисления
по формуле Ньютона достаточно добавить
к
лишь одно очередное слагаемое, так как
,
где
С учетом этого формулу для погрешности интерполяции в точке x, не являющейся узловой, можно записать следующим образом:
Когда величина
мала,
а функция достаточно гладкая, то
справедливо приближенное равенство:
, из которого следует, что
.
Таким образом, величину
можно использовать для практической
оценки погрешности интерполяции.
Рассмотрим решение следующей задачи (РЗ 16 )
ПРИМЕР 11.2. Пусть функция задана таблицей. Вычислить значение в точке
и оценить погрешность интерполяции.
x |
0.5 |
0.7 |
1.2 |
2 |
f(x) |
0.87 |
1.23 |
1.41 |
0.5 |
При использовании многочлена с разделенными разностями можно выбирать произвольный порядок узлов интерполяции. Поэтому примем такую схему решения.
Для приближения функции многочленом первой степени возьмем два ближайших к точке
,
перенумеровав их так:
,
.
Для построения многочлена 2-ой степени
добавим следующий узел
.
И последняя точка будет иметь номер
Перепишем таблицу с учетом новой нумерации точек. Составим таблицу разделенных разностей, обозначая их более компактным образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0.257 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0.226 |
|
|
|
--0.606(6) |
|
|
|
|
|
|
|
Оценка погрешности.
ОТВЕТ:
ЗАМЕЧАНИЕ. Для построения таблицы была
использована функция
.