Дифур
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральноегосударственноеавтономноеобразовательноеучреждение высшегообразования“Нижегородскийгосударственныйуниверситет им. Н.И. Лобачевского”
Е.Л. Панкратов Е.А. Булаева
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
по курсу «Математический анализ»
Рекомендовано методической комиссией Института экономики и предпринимательства ННГУ для студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 «Менеджмент»
Нижний Новгород
2015
УДК 517.958 (075)
ББК В311
П-16
П-16 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: Автор: Панкратов Е.Л., Булаева Е.А. учебно-методическое пособие. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2015. - 42 с.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор М.И. Сумин.
Учебно-методическое пособие «Обыкновенные дифференциальные уравнения» подготовлено для ознакомления студентов, обучающихся по специальности 38.03.02 «Менеджмент», с соответствующим разделом курса «Математический анализ». Оно содержит основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, основные аналитические методы их решения и некоторые приложения. Для закрепления теоретических знаний по обыкновенным дифференциальным уравнениям в данном пособии приведены контрольные задания.
Ответственная за выпуск:
председатель методической комиссии Института экономики и предпринима-
тельства, Е.Н. Летягина.
УДК 517.958 (075)
ББК В311
© Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2015
Содержание
Введение |
2 |
|
1. |
Основные понятия теории дифференциальных уравнений |
3 |
2. |
Задачи, приводящие к решению обыкновенных дифференциальных |
4 |
уравнений |
|
|
3. |
Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка |
5 |
4. |
Дифференциальные уравнения второго порядка |
18 |
5. |
Системы линейных дифференциальных уравнений. |
28 |
6. |
Приложения дифференциальных уравнений в экономике |
35 |
|
Контрольные задания |
38 |
|
Литература |
42 |
1
Введение
В настоящее время имеется большое количество экономических для описания которых необходимо решать дифференциальные уравнения. В рамках проведения такого моделирования необходимо решать как линейные, так и нелинейные дифференциальные уравнения с постоянными и переменными параметрами. В данном пособии приведен обзор методов решения обыкновенных дифференциальные уравнения. Пособие ориентировано на развитие у студентов компетенций ОК-15 и ОК-16 образовательного стандарта специальности 38.03.02 «Менеджмент». В результате изучения раздела математики “Обыкновенные дифференциальные уравнения” курса “Математический анализ” студенты должны знать основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уметь решать обыкновенные дифференциальные уравнения первого и высших порядков, а также системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
2
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Определение 1
Уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию независимой переменной y(x) и производные функции y (x) до n-го порядка включительно называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение 2
Пусть F (x,y,…) - непрерывная функция. Уравнение
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
F x, y (x), d y(x) |
, d |
y(x) |
,..., d |
y(x) |
|
= 0 |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
d x |
|
d |
2 |
x |
|
d |
n |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, неразрешённым относительно старшей производной.
Определение 3
Пусть f(x,y,…) - непрерывная функция. Уравнение
d n y(x) |
|
|
d y(x) |
|
d 2 y(x) |
|
d n−1 y(x) |
|||||||
|
|
|
= |
f x, y (x), |
|
, |
|
|
|
,..., |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
n−1 |
|
|||||
d |
x |
|
|
d x |
|
d |
x |
|
d |
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешённым относительно старшей производной.
Определение 4
Функция y =y (x) называется решением (интегралом) дифференциального уравнения, если при её подстановке в данное уравнение оно обращается в тождество.
Определение 5 Общим решением дифференциального уравнения называется его решение, со-
держащее все постоянные интегрирования.
Замечание 1 Количество постоянных интегрирования совпадает с порядком уравнения.
Определение 6 Если в общем решении выбрано конкретное значение постоянных интегриро-
вания, то решение называется частным. Определение 7
Особым решением называется такое решением дифференциального уравнения, для всех точек которого нарушается свойство единственности. Например, отдельные слагаемые могут обращаться в нуль или бесконечность. Особое решение состоит из особых точек.
Пример 1 Рассмотрим уравнения
dd xy = 2 xy , dd xy = − xy , dd xy = xx +− yy , dd xy = − xy .
3
Правые части данных уравнений, а также уравнений
dd xy = 2xy , dd xy = − xy , dd xy = xx +− yy , dd xy = − xy
разрывны в точке x=0 и y=0. Интегрирование исходных уравнений позволяет получить следующие решения
2 |
x |
2 |
+ y |
2 |
|
y |
2 2 2 |
y=Cx , y=C/x, |
|
|
= C exp arctg |
, x +y =C . |
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
Данные особые точки называются соответственно узлом, седлом, фокусом и центром.
Определение 8 График частного решения называется интегральной кривой. Определение 9
Если решение дифференциального уравнения y=y(x) удовлетворяет начальным условиям, т.е. при x=x0, y(x0)=y0, y'(x0 )= y'0 , y"(x0 )= y"0 , …, y(n)(x0 )= y(n)0 , то считается, что оно удовлетворяет задаче Коши.
Определение 10
Если решение дифференциального уравнения y=y(x) на интервале x [a,b] удовлетворяет граничным условиям, т.е. при x=a y(a)=ya и при x=b y(b)=yb, то считается, что оно удовлетворяет краевой задаче.
2. Задачи, приводящие к решению обыкновенных дифференциальных уравнений
Необходимость решения дифференциальных уравнений возникает в ряде прикладных задачах. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2
Рассмотрим точку, движущуюся вдоль оси Ox со скоростью v(t). Будем также считать, что известна абсцисса x0 этой точки в некоторый момент времени t0, принятый за начальный. Найдём закон движения данной точки. Под законом движения понимается зависимость абсциссы движущейся точки от времени. Такая задача сводится к необходимости нахождения решения следующего дифференциального уравнения
d dxt(t)= v (t).
Общее решение такого уравнения имеет следующий вид
x (t)= C + ∫t v (τ)d τ .
0
Решение имеет единственную постоянную интегрирования, но при t=t0 оно должно обращаться в x=x0. Из данного условия получаем
4
C = x0 −t∫0 v (τ)d τ .
0
Тогда
x (t)= x0 −t∫0 v (τ)d τ + ∫t v (τ)d τ = x0 + ∫t v (τ)d τ .
0 |
0 |
t0 |
Пример 3 Известно, что скорость распада радия прямо пропорционально наличному ко-
личеству радия. Будем считать, что в момент времени t0 имелось M0 г радия. Определим массу радия в момент времени t. Обозначим коэффициент пропорциональности как a>0. Тогда задача сводится к нахождению такого решения дифференциального уравнения
d Md t(t)= −a M (t),
которое при t=t0 обращается в M=M0. Искомым решением будет убывающая во времени экспоненциальная функция
M (t)= C e−a t .
Наложенное условие позволяет получить
C = M0ea t0 .
Таким образом, решение рассмотренного уравнения, удовлетворяющее наложенным условиям, имеет следующий вид
M (t)= M0e−a (t −t0 ).
Из рассмотренных примеров следует, что одному и тому же дифференциальному уравнению может удовлетворять большое количество функций. Поэтому для определения искомой функции задавалось не только дифференциальное уравнение, которому она должна удовлетворять, но также и её значение при определённом (например, начальном) значении аргумента. В рассмотренных примерах начальные значения определяли единственным образом соответствующие им решения дифференциальных уравнений. Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием данного уравнения.
Пример 4 Рассмотрим колебательный контур, состоящий из конденсатора ёмкостью С,
катушки индуктивностью L, резистора с сопротивлением R и источника ЭДС E. (см. рис.11.1). Падение напряжения на первых трёх элементах соответственно
5
R
L C
E
Рис. 1.
равно Cq (q – заряд на обкладках конденсатора), L dd ti (i = dd qt - сила тока) и iR.
Второй закон Кирхгофа при постоянном значении индуктивности в данном случае имеет вид
|
|
|
|
L |
d 2 q |
(t) |
+ R |
d q (t) |
+ |
q (t) |
= E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d t2 |
|
d t |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общее решение такого уравнения имеет представимо в следующей форме |
|
||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
R |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||||||||
q = E L |
+C1 exp |
|
4L2 − |
|
L C + |
2L t |
+C2 exp |
|
4L2 − |
L C − |
2L t |
, |
|||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где C1 и C2 – постоянные интегрирования, t - время. Если |
|
R2 |
|
> |
|
1 |
|
, получаем |
|||||||||||||||||||
|
4L2 |
|
L C |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
затухающее во времени решение исходного дифференциального уравнения. Ес-
ли |
R2 |
|
< |
|
1 |
|
, получаем колебательное с уменьшающейся во времени амплиту- |
||||||||||||||||||||
4L2 |
|
L C |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дой решение исходного дифференциального уравнения, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
1 |
R |
|
|
R |
|
|
|
1 |
R |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|||||||
q (t)= E L |
|
|
|
|
L C − 4L2 + |
2L |
j t |
|
|
L C |
− 4L2 |
− |
2L j t |
||||||||||||||
+C1 exp − |
|
|
+C2 exp |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где j = |
|
−1 . Эквивалентная форма записи (с учётом формул Эйлера) данного |
|||||||||||||||||||||||||
соотношения имеет следующий вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
~ |
|
1 |
|
R |
|
|
|
~ |
|
1 |
R |
|
|
|
|
|
||||
|
q (t)= E |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|||||||||||||
|
L |
+C1 cos |
|
L C − 4L2 |
+ 2L t |
+C2 sin |
|
L C |
− 4L2 |
− |
2L t |
|
|||||||||||||||
|
− |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Пусть q(0)=q0 и q'(0)= 0 . Из таких начальных условий получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
C |
|
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R |
|
|
C |
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
C |
= q |
|
− E |
|
− q |
|
− E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
− E |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
, |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
4L2 |
L C |
|
L |
|
|
|
4L2 |
L C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
C |
2 |
= q |
0 |
− E |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− E |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4L2 |
|
L C |
|
|
|
|
L |
|
4L2 |
|
L C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка
Определение 11 Уравнения
|
|
|
= 0 и |
d y (x)= f (x, y (x)), |
F x, y (x), d y (x) |
|
|||
|
d x |
|
|
d x |
|
|
|
называются обыкновенными дифференциальными уравнением первого порядка неразрешённым и разрешённым относительно первой производной. Определение 12
Пусть в каждой точке (x,y) определён такой угол α, что tg(α)=f(x,y(x)). Тогда точка (x,y) вместе с отрезком малой длины, составляющим угол α с положительным направлением оси абсцисс, называется линейным элементом.
Определение 13 Совокупность линейных элементов образует поле направлений, наглядно изо-
бражающее рассматриваемое дифференциальное уравнение.
Метод изоклин
Рассмотри уравнение
d dy (xx)= f (x, y (x)).
Функция k=f(x,y(x)) является угловым коэффициентом касательной к искомой интегральной кривой. Геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное значение (k=const), называются изоклинами.
Пример 5 Рассмотрим уравнение
dd xy = xy .
Угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен отношению k=y/x, т.е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в точку (x,y). Интегральными кривыми в данном слу-
7
чае будут линии y=Cx (C – постоянная интегрирования), т.к. направления этих линий совпадают с направлением поля.
Пример 6 Рассмотрим уравнение
dd xy = − xy .
Угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен отношению k=-x/y. Такой угловой коэффициент и угловой коэффициент касательной в предыдущем примере удовлетворяют условию ортогональности (т.е. интегральная кривая перпендикулярна своей касательной), т.е. –(x/y)(y/x)=-1. Поэтому поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, ортоганально полю направлений, рассмотренному в предыдущем примере. Тогда интегральными кривыми в рассмотренном примере являются две по-
луокружности y = c2 − x2 и y = − c2 − x2 , образующие окружность с цен-
тром в начале координат и радиусом, равным постоянной интегрирования. Пример 7 Рассмотрим уравнение
dd xy = x2 + y2 .
Угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен x2 + y2 = k = const x2 + y2 = k 2 .
Таким образом, изоклинами являются окружности с центром в начале координат и равным k радиусом. Для построения поля направлений присвоим постоянной k некоторые определённые значения (см. рис. 11.2).
Рис. 2.
Теперь можно приближённо провести искомые интегральные кривые, похожие на y=Cx2 (C – постоянная интегрирования).
8