619_Sidel'nikov_G._M._Statisticheskaja_teorija_radiotekhnicheskikh_

v

v1

( 1) 1

v0

λ

( 0) 0

Рис. 4.6. Пространство решений для векторного параметра θ.

Частный случай, когда θ содержит только одну компоненту (θ = v) соответствует примеру 4.2. Когда θ=λ, рассматривается только одна гипотеза, что соответствует примеру 4.3.

Пример 4.5 Восстановление формы передаваемого сигнала осуществляется при приеме аналоговых сигналов (фильтрация) и отличается от оценки параметра тем, что измеряемый параметр непрерывно меняется в процессе измерения.

Задачей синтеза РУ является отыскание явного выражения для правила

решения Ф x t , и поиск наилучшего решения, с точки зрения показателя ка-

чества решения R[Ф(x)] или просто R(Ф) . Показатель качества R(Ф) выбирается или считается заданным (например, эвристическим путем). При этом наилучшее или оптимальное правило решения Фопт x(t) – это такое значение аргумента показателя качества R(Ф) , которое обеспечивает экстремальное зна-

чение показателя качества решения,найденное по всем значениям Ф, принадлежащих некоторому классу F.

Подводя итоги данного раздела заметим, что оптимизация РУ возможна, если известно:

1) математическое описание сигнала на входе РУ (рисунок 4.1) во временном и (или) вероятностном пространствах в виде множества xT , представляю-

щего ансамбль реализаций сигнала x(t) и wk (x,t), 0 t1 t2 ... tn T ;

2)множество всех возможных решений Г ;

3)показатель качества R(Ф),определяющий качество выбранного правила решения Ф[x(t)];

4)критерий оптимальности правила решения, который позволяет найти та-

x(t) , которое обеспечивает экстремальное значение показателя каче-опт

ства R(Ф).

51

4.2.Показатели качества и критерии оптимальности РУ

Пусть x(t) S(t, ) n(t) – сигнал на входе РУ; wn x, , – совместная

Рис.4.7. Решающее устройство при оценке параметра

Решение не всегда совпадает с истинным значением параметра и, следовательно, наблюдается какая-то ошибка. Конечно, необходимо такое правило решения Ф(x) , чтобы ошибка была по возможности меньше, тогда РУ лучше. Однако необходимо иметь в виду, что понятие «ошибка» не является однозначным, так как зависит и должно определяться потребителем решений (причём потребителем может быть и научный работник, синтезирующий РУ).

Например, если – непрерывное бесконечное множество, то в качестве меры ошибки может использоваться:

разность , абсолютное значение разности , квадрат разности 2 ,

среднее значение квадрата разности

Если – дискретное множество, то в качестве меры ошибки обычно используются различные вероятностные меры (например, средняя вероятность ошибки или вероятность пропуска сигнала с данным значением параметра ).

В общем случае, ошибки связаны с ущербом для потребителя и, следовательно, можно указать некоторую функцию потерь от двух аргументов и ,

такую что , 0 при фиксированых значениях и .

В свою очередь качество РУ (или качество правила решения) определяется степенью соответствия принятых решений значениям переданного параметра

. Таким образом, мерой качества является некоторый функционал связывающий функцию потерь и меру ошибки.

R Ф W ( , ); .

Вид функции потерь зависит от характера множества, описывающего параметр , и обычно выбирается потребителем из известного ряда функций с точки зрения удобства решения поставленной задачи.

52

Пример 4.9. Параметр , Θ – дискретнонепрерывное векторное множество. Векторный параметр можно записать в виде:

v ,

где v- дискретная компонента, которая называется вектором состояния, λ - непрерывная компонента вектора состояния. Если v= 0, то 0 , если v= 1, то

1 .

Множество решений также является дискретно-непрерывным и всякое решение γ содержит непрерывную γн и дискретную γдкомпоненты

н .

д

Вэтом случае функция потерь может быть записана в виде:

; н , д ; ,v н ,i; ; j ij н , , i,j= {0,1}.

Если д i, то н i , если v=j, то j

Запишем эти условия в виде матрицы, элементами которой являются

Например, 10 н , - потери при решения д 1 и н 1 , когда на самом деле v=0 и непрерывная компонента 0 . Причём потери здесь могут быть разными в зависимости от степени отклонения решения γн от параметра λ.

4.3.Правила решения и критерии оптимальности

4.3.1.Равномерно-наилучшее правило решения (или равномерно

наиболее мощное правило решения – правило РНМ

Априорные данные:

1.сигнал на входе РУ: x(t), wn (x, ), ;

2.функция потерь ( , ) ;

3.мера качества для правила РНМ: r ( ) – средний условный риск (условный, так как зависит от параметра θ),

x ... ( , ) wn (x, )dx1dx2...dxn (4.19)

55

то есть r ( ) -это среднее значение функции потерь , при данном

значении параметра θ;

4. критерий оптимальности требует min r ( ) , тогда

Методы поиска правила РНМ:

1)аналитических методов поиска рнм (x) не существует;

2)правило рнм (x) в каждом конкретном случае находится графически. Рассмотрим методику графического поиска правила рнм (x) на конкретных

примерах.

Пример 4.10.

а) Параметр образует непрерывное одномерное множество,

(Рис. 4.13.)

2) Выбирается правило, для которого r ( ) на всём интервале мень-

ше, чем для других правил решения в данном классе (на Рис..4.14. таким правилом является Ф ).

данного класса).

б) Параметр образует дискретное множество. Значения параметра

1, 2 ,..., i ,..., m , (Рис.4.15.)

56

которого r ( i ) для всех значений i равномерно меньше, чем для других правил решения в данном классе (на рисунке 4.15. таким правилом также является Ф ). Следовательно, Фрнм x Ф .

в) Параметр образует непрерывно-дискретное множество, Рис. 4.16.

Ф 0 Ф

1

1

Рис. 4.15. График r ( ) для непрерывно-дискретного параметра

57

4.3.3. Байесовское правило решения.

Априорные данные:

1. сигнал на входе РУ: x(t, ), wn (x / ) - условная функция плотности рас-

пределения входного сигнала для данного значения параметра θ, параметр θ рассматривается как случайная величинас априорной плотностью распределения вероятности w , (если - дискретное множество, то известны

априорные вероятности дискретных значений параметра или вероятности соответствующих гипотез);

2.функция потерь ( , ) ;

3.мера качества для байесовского правила: R – средний риск,

Методы поиска байесовского правила:

1.вычисляется средний риск для всех правил решения, принадлежащих данному классу F : Rф', Rф'' и так далее;

2.попарно сравниваются вычисленные значения среднего риска, так что правило Ф' лучше Ф'', если Rф'<Rф'' и так далее;

3.выбирается правило, для которого средний риск минимален

Бx : R min R

БФ F

или

Таким образом, называется байесовским правилом выбора решения Б x ,

если оно обеспечивает не просто минимальный средний риск, а минимум среднего риска среди всех возможных правил решения из данного класса.

59

Байесовское правило можно найти практически всегда, известны регулярные методы поиска (синтеза) байесовского правила.

4.3.4. Правило Неймана-Пирсона.

Априорные данные:

1.сигнал на входе РУ: x(t, ), wn (x / ) , 0 , 1 - параметр обычно принимает только два значения, но возможно и больше;

2.вместо функции потерь задаётся уровень значимости 0 1, так, чтобы класс правил решения удовлетворял условию:

(класс правил, для которых вероятность решения γ1 равна или меньше α, когда в действительности на входе РУ 0 );

Фнп x : (1 ) max 1 .

Ф F

Методы поиска правила Неймана-Пирсона (правила НП):

1.вычисляется вероятность ошибки 2-го рода для всех правил решения, принадлежащих данному классу F : , и так далее;

2.попарно сравниваются вычисленные значения вероятности ошибки 2-го рода, так что правило Ф' лучше Ф'', если '< и так далее;

3.выбирается правило, для которого имеет место min

(или max (1 ) );

4. тогда

Правило Неймана-Пирсона существует практически всегда, известны регулярные методы поиска (синтеза) правила НП.

60