Evdokimov_I.N._i_dr._Vynuzhdennye_kolebaniya_v_elektricheskom_konture

Положение максимума зависимости 0 (ω), то есть значение ωрез, найдем, приравняв производную по ω от

подкоренного выражения (13) к нулю:

((ω20 − ω2)2+4 2ω2)′ = 2(ω20 − ω2)(−2ω) + 8 2ω = 0,

Как видим, резонансная частота, при которой амплитуда напряжения достигает максимума, несколько отличается от частоты собственных колебаний ω0.

На рис. 2 изображён график зависимости U0C от ω для различных значений коэффициента затухания β.

Рисунок 2 – Резонансные кривые.

В соответствии с (8) и (14), чем меньше коэффициент затухания β, тем выше резонансная кривая и тем ближе частота резонанса к частоте собственных колебаний

11

контура. При стремлении частоты ω к нулю кривые стремятся к одному значению U0C= 0, то есть к напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения величиной 0. При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю. Чем меньше β,

тем сильнее изменяется с частотой амплитуда U0C вблизи резонанса, тем «острее» максимум резонансной кривой.

Иными словами, максимум амплитуды напряжения на конденсаторе тем выше и острее, а резонансные частоты тем меньше отличаются от ω0, чем меньше β, т.е. чем меньше R

и больше L.

езонанс (франц. resonance, от лат. resono – звучу в ответ,

откликаюсь), относительно большой селективный

(избирательный) отклик колебательной системы

(осциллятора) на периодическое воздействие с частотой,

близкой к частоте её собственных колебаний.

При резонансе происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний осциллятора. Резонанс в электро-магнитных системах на примере колебательного контура впервые описан английским учёным Дж.

Максвеллом в 1868 году. Различают резонанс,

возникающий в результате воздействия внешней периодической силы на осциллятор

(рассматривается в данной лабораторной работе), и параметрический резонанс,

возникающий вследствие периодического изменения одного из энергоёмких

(реактивных) параметров осциллятора.

Возможность реализации параметрического резонанса – создания усилителя электро-магнитных колебаний была

12

выяснена начале 1930-х гг. советскими физиками Л.И.Мандельштамом и Н.Д.Папалекси. Ими была предложена первая емкостная параметрическая машина. Конденсатор системы (справа на рис.) состоял из двух систем обкладок – неподвижной (статор) и подвижной (ротор). Статор был изготовлен из 26 квадратных алюминиевых пластин с симметрично расположенными радиальными вырезами,

а ротор – из 25 таких же пластин круглой формы с аналогичными вырезами. С помощью мотора ротор можно было приводить во вращение со скоростью до 4000 об/мин. При этом периодически менялась ёмкость конденсатора и возбуждались параметрические колебания тока. Для ограничения резонанса параллельно конденсатору включалась цепочка из 6

неоновых ламп.

При наличии ламп на конденсаторе получалось устойчивое напряжение,

достигавшее 600-700 В. В отсутствие неоновых ламп напряжение не устанавливалось, а продолжало нарастать до 2000-3000 В, пока не проскакивали искры между обкладками конденсатора. Аналогичные опыты можно провести и с «индукционной машиной», в которой периодически меняется индуктивность конура.

Для контура, используемого в данной лабораторной работе, затухание достаточно мало, и можно приближённо считать, что и для напряжения на конденсаторе ωрез≈ ω0.

Покажем, что в этом случае колебания напряжения на ёмкости UC и индуктивности UL при резонансе противоположны по фазе, а их амплитуды равны.

Действительно, при резонансе I = I0резsinω0t, следовательно

13

То есть напряжение на емкости отстает по фазе от

силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности

опережает фазу колебаний тока на π/2.

одинаковы и в соответствии с формулой (9) могут быть записаны в виде:

Рассмотренное явление резонанса в контуре с последовательно включённой переменной внешней э.д.с.

называется резонансом напряжений.

Условия резонанса могут быть достигнуты двумя способами:

1)медленным (непериодическим) изменением параметров контура,

2)изменением частоты внешней э.д.с.

14

езонанс напряжений (за счет внешней э.д.с. и

непериодических изменений параметров контура) широко используется в радиотехнике, когда нужно усилить колебание напряжения какой-либо определенной частоты, что позволяет выделить из многих сигналов различных радиостанций только

одно колебание определенной частоты (настроиться на определенную станцию).

На

коротковолновом участке любого диапазона

(высшие частоты, ротор выведен)

подстройку

приёмника производят с помощью подстроечного конденсатора …

… а на длинноволновом участке (низшие частоты, ротор введён) – с

помощью

сердечника катушки и подбором числа витков.

В общем случае резонанс напряжений в электротехнике является нежелательным явлением, поскольку он вызывает перенапряжения и выход из строя оборудования. В качестве простого примера можно привести длинную кабельную линию, которая по какой-то причине оказалась не подключенной к нагрузке, но при этом питается от промежуточного трансформатора. На силовых трансформаторах с рабочим напряжением 220 кВ в результате

резонанса напряжение может скачкообразно увеличиться до 300 кВ, а ток

15

мгновенно поднимается до такой силы, при которой обмотки разрушаются в результате теплового воздействия (электродинамический удар). Чтобы предотвратить разрушение кабелей от случайного резонанса напряжений,

применяют вспомогательную нагрузку.

Но иногда резонанс напряжений играет нам на руку и не только в радиоприёмниках. Например, бывает, что в сельской местности напряжение в сети непредсказуемо упало, а станку нужно напряжение не менее 220 вольт. В

этом случае явление резонанса напряжений спасает. Достаточно последовательно со станком (если приводом в нем является асинхронный двигатель) включить по несколько конденсаторов на фазу, и таким образом напряжение на обмотках статора поднимется. Здесь важно правильно подобрать количество конденсаторов, чтобы они точно скомпенсировали своим ёмкостным сопротивлением вместе с индуктивным сопротивлением обмоток просадку напряжения в сети, то есть, слегка приблизив цепь к резонансу, можно поднять упавшее напряжение даже под нагрузкой.

В данной работе изучается резонанс напряжений,

причём используются оба способа (медленное изменение параметров контура и изменение частоты внешней э.д.с.).

При осуществлении первого способа частота внешней э.д.с. и величина ёмкости конденсатора С остаются постоянными. В качестве переменного параметра используется индуктивность L контура, изменяемая количеством последовательно включенных в контур катушек, имеющих одинаковую индуктивность Li.

Значения индуктивности и активного сопротивления контура при различном количестве включенных катушек предварительно определяют экспериментально. Для этого собирают цепь, изображенную на рис. 3.

Из закона Ома для переменного тока (5) следует

(при отсутствии конденсатора в цепи ёмкость С → ∞, т.е.

[1/C ] → 0):

16

0

I0= ,

√R2+(ωL )2

√( 0)2– R2

откуда L = I0 . (19)

ω

Рисунок 3 – Схема цепи для измерения индуктивности контура

Амперметром и вольтметром, включёнными в цепь

(рис. 3), измеряют эффективные значения тока и напряжения

Из (19) и (20) следует, что

Iэф

17

Измерив эф и Iэф, зная R и ω, можно из (21) найти L.

Если построить на графике зависимость индуктивного сопротивления ωL от числа включенных последовательно в цепь катушек индуктивности (кружки и соединяющая их кривая на рис. 4) и нанести на этот график горизонтальную прямую линию, соответствующую

1

постоянному ёмкостному сопротивлению ωC , то по точке пересечения кривой с горизонтальной прямой можно

определить резонансное значение индуктивности L, для

которого ωL = 1 .

ωC

Рисунок 4 – Графическое определение числа

последовательно включенных в контур индуктивных катушек,

соответствующего условию резонанса напряжений.

18

технике резонансные свойства линейных колебательных систем часто характеризуют величиной добротности Q, которая численно равна отношению резонансной частоты ωрез к ширине

резонансной кривой ∆ω на уровне убывания амплитуды в √2 раза.

Принято также выражать добротность колебательной системы через отношение запасённой в ней энергии к средней за период колебаний мощности потерь. Однако при наличии потерь величина запасённой энергии не может быть установлена строго и определяется путём условного разграничения диссипативных и реактивных элементов.

В случае электрических контуров принято запасённую энергию считать сосредоточенной в чисто реактивных элементах индуктивности L и ёмкости C , а потери связывать с протеканием тока по чисто диссипативному элементу – сопротивлению R , тогда

Добротность характеризует избирательную и разрешающую способности колебательной системы: чем больше Q , тем выше резонансный отклик системы по сравнению с нерезонансным. Близкие частоты ωА и ωБ могут быть разрешены, если ׀ωА − ωБ׀ >> ω = ω /Q. Обычные радиоконтуры обладают добротностью порядка 101-102, для камертона Q ~ 102, для пьезокварцевой пластинки Q ~ 2•104, для СВЧ резонаторов Q ~ 103-104, а для квазиоптических и оптических резонаторов ~ 106-107.

Резонанс напряжений при неизменных параметрах контура L и C (второй способ) удобно наблюдать в цепи,

изображённой на рис. 5. В качестве источника переменной э.д.с. здесь используется генератор сигналов, позволяющий получать синусоидальные колебания в широком диапазоне частот. Амплитуда внешней э.д.с. 0 при различных ω

19

должна оставаться постоянной, тогда как амплитуда напряжения на конденсаторе U0C сильно возрастает при частотах, близких к резонансной частоте.

Рисунок 5 – Цепь для снятия резонансных кривых.

Для измерения амплитуд напряжения на конденсаторе применяется катодный вольтметр (или более современные аналоги), имеющий большое внутреннее сопротивление,

или электронный осциллограф. Измеряя U0C для каждого значения ω, можно простроить резонансную кривую (рис. 2) и определить ωрез≈ ω0, т.е. частоту, соответствующую максимуму на этой кривой.

20