m32352_3
.DOCТЕМА II. Начала анализа. Дифференциальное исчисление функции одного аргумента
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ
Переменная величина. Бесконечно малая и бесконечно большая переменные величины, их простейшие свойства. Функция, ее область определения.
Обзор основных элементарных функций, их простейших свойств и графиков.
Предел переменной величины, его свойства. Предел функции.
Понятия приращения аргумента и функции, их геометрическая интерпретация. Первое определение непрерывности функции в точке.
Второе определение непрерывности функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке (с теоремой о непрерывности сложной функции).
Понятие односторонних пределов функции. Третье определение непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва функции. Понятия вертикальных и горизонтальных асимптот графика.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Задачи о вычислении мгновенной скорости тела и о нахождении углового коэффициента касательной к плоской кривой. Определение, геометрический и физический смыслы производной функции.
Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции.
Производные функций .
Простейшие правила дифференцирования функций. Производные функций .
Теорема о производной сложной функции. Производные функций .
Теорема о производной обратной функции. Производные функций .
Дифференциал функции.
Теорема Лагранжа. Признаки монотонности функции.
Необходимое условие экстремума функции одного аргумента.
Первое и второе достаточные условия экстремума функции одного аргумента.
Анализ графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Наклонные асимптоты графика функции.
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ 2
ЗАДАЧА 2.1.
Вычислить заданные пределы.
Используя первое определение непрерывности, доказать непрерывность функций в их областях определения.
Классифицировать точки разрыва заданных функций, найти вертикальные и горизонтальные асимптоты их графиков и отразить на чертеже гипотезы поведения графиков.
Вариант 1.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 2.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 3.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 4.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 5.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 6.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 7.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 8.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 9.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 10.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 11.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 12.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 13.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 14.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 15.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 16.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 17.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 18.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 19.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 20.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 21.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 22.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 23.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 24.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 25.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 26.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 27.
I. |
|
II. |
|
III. |
|
Вариант 28.
I. |
|
II.
|
|
III. |
|
ЗАДАЧА 2.2. Найти первые производные функций из приведенных ниже таблиц. В каждый вариант входят три таблицы.
Ва ри ант |
Таблицы |
Ва ри ант |
Таблицы |
Ва ри ант |
Таблицы |
Ва ри ант |
Таблицы |
1 |
1; 3; 5 |
2 |
2; 4; 6 |
3 |
3; 5; 7 |
4 |
4; 6; 8 |
5 |
5; 7; 9 |
6 |
6; 8; 10 |
7 |
7; 9; 11 |
8 |
8; 10; 12 |
9 |
9; 11; 13 |
10 |
10; 12; 14 |
11 |
11; 13; 15 |
12 |
12; 14; 16 |
13 |
13; 15; 17 |
14 |
14; 16; 18 |
15 |
15; 17; 19 |
16 |
16; 18; 20 |
17 |
17; 19; 21 |
18 |
18; 20; 22 |
19 |
19; 21; 23 |
20 |
20; 22; 24 |
21 |
21; 23; 25 |
22 |
22; 24; 26 |
23 |
23; 25; 27 |
24 |
24; 26; 28 |
25 |
25; 27; 1 |
26 |
26; 28; 2 |
27 |
27; 1; 3 |
28 |
28; 2; 4 |