QalOGUGtk0

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

влетворять уравнению: tgl

– коэффициенты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

4.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

kat

ut x,t

ak sin

bk cos

ut x,0

sin

bk sin

k 1

. Следовательно, k

0 . Из первого начального условия имеем

u x,0

ak sin kx

l x

x l x sin kx dx

k 1

0 l2

, du l 2x dx

8h l

u xl x

xl x

sin

dv sin

dx, v

cos

xl x2

l 2x cos

cos

k l

u l 2x, du 2dx

2l l

l 2x sin

sin

dv cos kx dx, v

sin kx

k l

2 k

16h

1 cos k

16h

1 1

sin

cos

3 3

0, если k - четно

32h

, если k - нечетно

Окончательно, получаем решение в виде

32h

2n 1 at

2n 1 x

u x,t

cos

sin

2n 1 3

n 0

32h

2n 1 at

2n 1 x

Ответ: u x,t

cos

sin

2n 1 3

n 0

Пример 4. Решить смешанную задачу:

50e 7t sin 4x,

u x,0 0,

u 0,t 0,

u ;t 0 .

Решение.

Собственные функции соответствующей однородной задачи

u x,0 0,

ut x,0 0,

u 0,t 0,

u ;t 0

имеют

вид:

X k x sin kx .

Поэтому решение данной неоднородной задачи будем искать в виде ряда:

161

u x,t

x sin kx ,

где

0 0,

k' 0 0 . Подставим этот ряд в

k 1

уравнение

50e 7t sin 4x ,

получим

k" t

t sin kx 50e 7t sin 4x .

Обозначим

через

k 1

gk t k" t

t . Тогда

gk t

50e 7t sin 4x sin kxdx . Так как си-

стема функций

X k x sin kx ,

k 1,

2, ... ортогональна на отрезке 0, ,

gk t 0

100

то

k ,

кроме

k 4 .

Найдем

e 7t

sin2 4xdx

1 cos8x dx

e 7t

50e 7t . Теперь надо решить

sin8x

задачу Коши: 4" t 4 t 50e 7t , 4 0

4' 0 0 . Решение соответ-

ствующего однородного уравнения имеет вид: 4

C1 cost C2 sint . Част-

ное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

* Ae 7t .

Подставим

уравнение

4" t 4 t 50e 7t .

Получим

49Ae 7t Ae 7t 50e 7t A 1.

Значит,

* C cost C

sin t e 7t . Найдем C

и C

. Для этого исполь-

зуем условия

0 0,

0 . Имеем

t C sin t C

cost 7e 7t .

Тогда

C1 1 0 ,

C2 7 0 C1 1, C2 7.

Следовательно,

4 t cost 7sin t e 7t

и u x,t cost 7sint e 7t sin 4x .

Проверка.

Проверим

выполнение

начальных

условий.

u x,0 1 0 1 sin 4x 0 .

Найдем

ut x,t sin t 7cost 7e 7t sin 4x

ut x,0 0 7 7 sin 4x 0 .

Проверим

выполнение

граничных

условий.

u 0,t

cost 7sin t e 7t sin 0 0 ,

u ;t cost 7sin t e 7t sin 4 0 , так

как sin 4 0 . Проверим теперь, что найденная функция u x,t

удовлетво-

ряет уравнению

50e 7t sin 4x . Найдем производные: u x,t

162


cost 7sin t 49e 7t sin 4x ,		ux x,t 4 cost 7sin t e 7t cos 4x ,
uxx x,t	16 cost 7sint e 7t sin 4x .		Тогда

utt 161 uxx 50e 7t sin 4x

cost 7sin t 49e 7t sin 4x 161 16 cost 7sin t e 7t sin 4x 50e 7t sin 4x

cost 7sin t 49e 7t sin 4x cost 7sin t 49e 7t sin 4x – верно.

Ответ: u x,t cost 7sin t e 7t sin 4x .

Пример 5. Решить смешанную задачу:

utt 25uxx 40cos 20t sin 4x, u x,0 0, ut x,0 0, u 0,t 0, u ;t 0 .
Решение.
Собственные функции	соответствующей однородной задачи utt 25uxx ,
u x,0 0, ut x,0 0,	u 0,t 0, u ;t 0 имеют вид:	X k x sin kx .

Поэтому решение данной неоднородной задачи будем искать в виде ряда:

u x,t
u x,t	k x sin kx , где k 0 0, k' 0		0 .	Подставим этот ряд в
		k 1
уравнение		utt 25uxx 40cos20t sin 4x ,			получим
	25k 2 k t sin kx 40cos 20t sin 4x .
k" t	25k 2 k t sin kx 40cos 20t sin 4x .			Обозначим	через

k 1

gk t k" t 25k 2 k t .

gk t

Тогда

40cos 20t sin 4x sin kxdx .

Так

как система функций

X k x sin kx ,

k 1, 2, ... ортогональна на отрезке 0, , то gk t 0 k

кроме

k 4 .

Найдем

g4 t

cos 20t sin2 4xdx

cos 20t 1 cos8x dx

cos 20t x

sin 8x

40cos 20t . Теперь надо решить задачу Коши:

4" t

400 4 t

40cos 20t, 4 0 0, 4' 0

0 .

Решение соответству-

ющего однородного уравнения имеет вид: 4	C1 cos20t C2 sin 20t . Част-
ное решение неоднородного уравнения	будем искать в виде:
4* t Acos 20t B sin 20t
163

4* '

Acos20t Bsin 20t t 20Asin 20t 20B cos20t ,

4* ''

40Asin 20t

40B cos 20t t 400Acos 20t 400B sin 20t . Подста-

вим

функцию

ее

производные

уравнение

4" t 400 4 t 40cos 20t .

Получим

40Asin 20t 40Bcos20t 40cos20t A 0, B 1.

Значит,

C cos 20t C

sin 20t t sin 20t .

Найдем

и C .

Для

этого

используем

условия

4 0

0, 4' 0 0 .

Имеем

' t 20C sin 20t 20C

cos 20t sin 20t 20t cos 20t .

Тогда C C 0 ,

Следовательно, 4 t

t sin 20t

и u x,t t sin 20t sin 4x .

Проверка.

Проверим

выполнение

начальных

условий.

u x,0 0 sin 0 sin 4x 0 .

Найдем

ut x,t sin 20t 20t cos 20t sin 4x

ut x,0 0 0 sin 4x 0 . Проверим

выполнение граничных условий.

u 0,t

t sin 20t sin 0 0,

u ;t t sin 20t sin 4 0 ,

так как

sin 4 0 .

Проверим теперь, что найденная функция u x,t

удовлетворяет уравнению

utt 25uxx

40cos20t sin 4x .

Найдем

производные:

utt x,t

40cos 20t 400t sin 20t sin 4x ,

ux x,t 4 t sin 20t cos 4x ,

uxx x,t

16 t sin 20t sin 4x .

Тогда

utt 25uxx

40cos20t sin 4x

40cos 20t 400t sin 20t sin 4x 25 16 t sin 20t sin 4x 40cos 20t sin 4x

400t sin 20t sin 4x 400t sin 20t sin 4x – верно.

x,t t sin 20t sin 4x .Ответ

2. Уравнение линейной теплопроводности

Уравнение теплопроводности имеет вид:

				u	F x,	t c	u
			k					,	(1)
			k					,	(1)
		x		x			t
где u x,	t – функция, представляющая температуру стержня в сечении x

в момент времени t , k – коэффициент теплопроводности, зависящий от материала стержня, c – удельная теплоемкость стержня, – его плот-

ность, F x, t – функция плотности тепловых источников в точке x в момент времени t . Если стержень однороден, то k , c , можно считать постоянными и уравнение (1) можно записать в виде

ut a2uxx f x, t , 164

где f x,	t	F x,	t	, a2	k	–	постоянная, называемая коэффициентом
		c			c

температуропроводности.					Если		источники отсутствуют, то есть

F x, t 0 , то уравнение теплопроводности принимает простой вид:

ut a2uxx .

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках стержня в некоторый момент, от которого ведется отсчет времени. Обычно полагают, что в начальный момент t 0 . Тогда начальное условие имеет вид

u x,0 u	t 0 f x ,	(2)


где f x – данная функция.

Краевые условия должны выполняться там, где стержень может иметь теплообмен с окружающей средой, то есть на торцевых сечениях стержня (боковая поверхность стержня считается по условию теплоизолированной). Пусть начало стержня совпадает с началом координат x 0 , а его конец

имеет абсциссу x l . Самый простой случай краевых условий тот, когда

концы стержня поддерживаются при постоянной температуре. Это значит, что

u 0,t u	x 0 u0, u	x l ul ,	(3)

где u0 , ul – заданные числа.

Возможны, однако, и более общие краевые условия, когда на торцевых сечениях стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Этот закон состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и

окружающей среды, то есть равен h u u , где u	– температура конца
стержня, u – температура окружающей среды и h	– коэффициент про-

порциональности, зависящий от физических свойств стержня и среды. Коэффициент h называется коэффициентом теплообмена. Будем считать его для данного торцевого сечения стержня постоянным.

Тогда краевые условия на торцевых сечениях запишутся в виде

h0 u

x 0 u0 ,

hl u

x l ul ,

(4)

x 0

x l

где u0 , ul – заданные температуры внешней среды, которые будем считать

известными функциями времени, а в наиболее простом случае – постоянными величинами; k – коэффициент теплопроводности стержня, h0 и hl –

коэффициенты теплообмена на торцах стержня.

165

Если какой-либо конец стержня теплоизолирован, то соответствующий коэффициент теплообмена равен нулю и краевое условие на этом конце при-

мет вид u 0 . Краевые условия (3) также можно рассматривать как част-

ный случай общих условий (4) при очень больших значениях коэффициентов теплообмена.

Первая краевая задача для конечного стержня состоит в следующем. Найти решение u u x,t уравнения теплопроводности

ut a2uxx при 0 x l, 0 t T ,

удовлетворяющее условиям

u x,0 f x , 0 x l ,

u 0,t u0 , u l,t ul , 0 t T ,

где f x , u0 , ul – заданные функции.

Будем теперь решать более общую задачу: найти решение u u x,t урав-

нения теплопроводности ut a2uxx , 0 x l , удовлетворяющее начально-

му условию (2) и краевым условиям (4).

Метод Фурье, в случае краевых условий (4) непосредственно неприменим, так как они неоднородны, если u0 0 или ul 0 : решение u 0 им не удо-

влетворяет. Поэтому, прежде чем применять метод Фурье, нужно свести задачу к такой, в которой краевые условия однородны.

Пример 1. Решить смешанную задачу

	ut 2uxx ; u x,0 sin 3 x;	u 0,t u 8,t 0 .
Решение.	Сделаем замену переменной	2t	u	u	d	2	u . Тогда
			t
				dt
уравнение	примет вид: 2u 2uxx u uxx .		Будем искать				функцию
u x, в виде u x, X x T . Подставим ее в уравнение: X x T '

X " x T

T '

X "

c const T ' cT 0

T Cec

T "

, где

– произвольная постоянная.

Так как

температура

u x, X x T

не может неограниченно возрастать по абсолютной ве-

личине при (то есть при t ), то c должно быть отрицательно, то

		Ce 2 .
есть c 2 T		Ce 2 .
Решим	теперь	уравнение	X " x	c ,	где	c 2 .	Имеем
Решим	теперь	уравнение	X x	c ,	где	c 2 .	Имеем
			X x
X " x 2 X x 0 .		Характеристическое			уравнение имеет		вид:
			166

r 2 2 0 r	i .	Тогда	общее	решение:
1,2

Xx Acos x Bsin x u AC cos x BC sin x e 2

cos x sin x e 2 , где AC, BC . Константа должна удо-

теплообмена на концах стержня. В случае теплоизоляции какого-либо конца надо соответствующий коэффициент положить равным нулю, а в случае постоянства температуры устремить этот коэффициент к бесконечности.

нашем

случае

u 0,t u 8,t 0 h0

, h8 .

Тогда

tg8

при

h0 , h8

то

есть

k 2 2

h0h8

tg8 0 8 k, k Z

, k 0,1,2, ...

x,t

2k 2t

k cos

k sin

32 . Так как

Таким образом, uk

x,t

sin kx e

2k 2t

то k

0 .

Следовательно, u

32 .

То-

гда u x,t

2k 2t

sin kx .

x,t k

Для определения коэффициентов

k 1

воспользуемся

начальным

условием:

u x,0

k sin kx sin 3 x k

k 1

sin 3 x sin

dx k

0 ,

кроме

k 24 .

Найдем

1 8

1 cos6 x dx

sin

3 xdx

sin 6 x

242 2t

24 x

Следовательно, u x,t e

sin

18 t

sin3 x .

167

Проверка: Имеем u x,0 e0 sin 3 x sin 3 x – верно. Начальное усло-


вие	выполняется.	Проверим		выполнение	краевых	условий:
u 0,t e 18 2t sin 0 0,			u 8,t e 18 2t sin 24 0 ,		так как sin 24 0 .
Краевые условия также			выполняются. Проверим теперь, что найденная
функция u x,t		удовлетворяет		заданному	уравнению.	Имеем

ut x,t 18 2e 18 2t sin3 x, ux x,t

3 e 18 2t cos3 x, uxx x,t 9 2e 18 2t sin3 x . Значит, ut 2uxx

18 2e 18 2t sin 3 x 2 9 2e 18 2t sin 3 x

18 2e 18 2t sin 3 x 18 2e 18 2t sin 3 x – верно.

Ответ: u x,t e 18 2t sin3 x .

Пример 2. Решить смешанную задачу

ut 2uxx ; u x,0 cos3 x 2cos 4 x; ux 0,t ux 8,t 0 .
Решение.	Сделаем замену переменной 2t	u	u	d	2	u . Тогда
		t
			dt
уравнение	примет вид: 2u 2uxx u uxx .	Будем искать				функцию
u x, в виде u x, X x T . Подставим ее в уравнение: X x T '

X " x T

T '

X "

c const T ' cT 0

T Cec

T "

, где

– произвольная постоянная.

Так как

температура

u x, X x T

не может неограниченно возрастать по абсолютной ве-

личине при (то есть при t ), то c должно быть отрицательно, то

			Ce 2 .
есть c 2 T			Ce 2 .
Решим	теперь		уравнение	X " x	c ,	где	c 2 .	Имеем
Решим	теперь		уравнение	X x	c ,	где	c 2 .	Имеем
				X x
X " x 2 X x 0 .			Характеристическое			уравнение имеет		вид:
r 2 2	0 r	i .		Тогда		общее	решение:
	1,2

Xx Acos x Bsin x u AC cos x BC sin x e 2

cos x sin x e 2 , где AC, BC . Константа должна удо-

теплообмена на концах стержня. В случае теплоизоляции какого-либо кон-

168

ца надо соответствующий коэффициент положить равным нулю, а в случае постоянства температуры устремить этот коэффициент к бесконечности.

В	нашем							случае								ux 0,t ux 8,t 0 h0																		0, h8							0 .					Тогда							tg8 0
				k		,		k 0,1,2, ...
						,		k 0,1,2, ...
	k		8
			8
												uk x,t												kx									kx									2k 2t																	k
																								kx									kx																										k
Таким образом,																					k cos					k sin												e			32			. Так как
Таким образом,																					k cos					k sin												e			32			. Так как
																								8											8																								h0
																																x,t									cos kx							e		2k 2t
и h 0, то								k					k	0 . Следовательно,														u			k	x,t								k	cos kx							e			32				. Тогда
	0												k																		k									k			8
u x,t																																											8
u x,t
														e				2k 2t					kx
uk			x,t					k						e					32			cos	kx		. Для определения коэффициентов k
k 0										k 0														8
k 0										k 0
																																																kx
воспользуемся												начальным										условием:							u x,0 k cos																			kx			cos3 x
																																						k 0										8
																																						k 0
2cos 4 x k													2	8	cos3 x 2cos 4 x												cos kx dx k																				k		0 ,							кроме
2cos 4 x k													8		cos3 x 2cos 4 x												cos kx dx k																				k		0 ,							кроме
													8																					8
														0
k 24																			и													k 32 .																						Найдем
		1	8					2							1 8				1 cos6 x dx									1						1											8								1				8
		1	8					2							1 8													1						1											8								1				8
24					cos				3 xdx																					x								sin			6 x															x		1;
24					cos				3 xdx																					x					6			sin			6 x															x		1;
		4													8													8							6																		8				0
			0														0																												0		8					8
		1	8							2							1		8	1 cos8 x dx										1							1												1
		1	8							2							1		8											1							1												1
32					2cos						4 xdx																					x							sin8 x												x			2 .
32		4			2cos						4 xdx						4													4		x				8			sin8 x										4		x			2 .
		4															4													4						8											0		4			0
			0																0																												0					0
Следовательно,
							242 2t								24 x								322 2t								32 x										2
															24 x									32							32 x										2
u x,t e								32				cos									2e			32		cos										e			18 t				cos3 x
u x,t e												cos					8				2e					cos						8				e							cos3 x
																	8															8
2e		32 2t cos 4 x .

Проверка: Имеем u x,0 e0 cos3 x 2e0 cos 4 x cos3 x 2cos 4 x –

верно. Начальное условие выполняется. Проверим выполнение краевых

условий.	Имеем
ux x,t 3 e 18 2t sin 3 x 8 e 32 2t sin 4 x ux 0,t
3 e 18 2t sin 0 8 e 32 2t sin 0 0 ,	ux 8,t 3 e 18 2t sin 24
8 e 32 2t sin 32 0 , так как sin 24 0	и sin 32 0 . Краевые условия

также выполняются. Проверим теперь, что найденная функция u x,t удо-

169

влетворяет

заданному

уравнению.

Имеем

2 18 2t

2 32 2t

cos 4 x ,

ut x,t 18 e

cos3 x 64 e

uxx x,t 9 2

e 18 2t cos3 x 32

2 e 32 2t cos4 x .

Значит,

ut 2uxx

cos 4 x 2 9

2e 18 2t

cos3 x 64

32 2t

e 18 2t

cos3 x

32 2t

cos 4 x 18

2e 18 2t

cos3 x 64

2e 32 2t cos 4 x

18 2e 18 2t

cos3 x 64 2e 32 2t cos 4 x – верно.

Ответ: u x,t e 18 2t cos3 x 2e 32 2t

cos4 x .

Пример 3. Решить смешанную задачу

ut 2uxx ; u x,0 19sin 5 x; u 0;t ux 0,5;t 0 .

Решение. Сделаем замену переменной

u . Тогда

уравнение

примет

вид:

2uxx u uxx .

Будем

искать

функцию

u x,

в виде u x, X x T

. Подставим ее в уравнение:

X x T '

X " x T

T '

X "

c const T ' cT 0 T Cec

T "

, где

– произвольная

постоянная.

Так

как

температура

u x,

X x T

не может неограниченно возрастать по абсолютной ве-

личине при (то есть при t ), то c должно быть отрицательно, то

			Ce 2 .
есть c 2 T			Ce 2 .
Решим	теперь		уравнение	X " x	c ,	где	c 2 .	Имеем
Решим	теперь		уравнение	X x	c ,	где	c 2 .	Имеем
				X x
X " x 2 X x 0 .			Характеристическое			уравнение имеет		вид:
r 2 2	0 r	i .		Тогда		общее	решение:
	1,2

Xx Acos x Bsin x u AC cos x BC sin x e 2

cos x sin x e 2 , где AC, BC . Константа должна удо-

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.69 Mб1paIU8PM57U.pdf
#
15.04.20231.09 Mб4pqcaxl7Go5.pdf
#
15.04.20232.68 Mб0PsZXeJCmaB.pdf
#
15.04.20231.02 Mб2ptPjNrUiRy.pdf
#
15.04.20231.54 Mб1PytPajB0Au.pdf
#
15.04.20234.97 Mб2QalOGUGtk0.pdf
#
15.04.20232.69 Mб1QhmOWHGetC.pdf
#
15.04.2023366.95 Кб1qQ3sg7Ypr6.pdf
#
15.04.20232.58 Mб0qS9WwoWrVT.pdf
#
15.04.20231.35 Mб2qSV1eADeIc.pdf
#
15.04.20231.05 Mб5r0kXcq8l3c.pdf