книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]

Будем полагать, что основной блок фильтрации, формирую­ щий оценку информативного процесса х, описывается уравнения­ ми дискретного фильтра Калмана

х9(к) = Ф(к,к -1,р)х(к-1),

в котором выделены параметры Р, подлежащие оцениванию, а Ф(к, к - 1, р) - заданная матрица экстраполяции.

Уравнения, описывающие формирование оценок регулируе­ мых параметров, имеют вид

В уравнения (1.7.28) входят производные d x 8 / dp, уравнения для

которых получаются дифференцированием (1.7.27) по Р

(1.7.29)

Сформированная по (1.7.28) оценка регулируемых параметров вводится в основной блок фильтрации (1.7.27) вместо р.

Также как и в задаче с непрерывным временем, в качестве ос­ новного блока фильтрации в дискретном времени можно использо­ вать не только оптимальный по структуре фильтр Калмана, но и любой другой следящий фильтр, обеспечивающий конечную ошибку фильтрации заданного процесса х(к).

- матрица размером (N+r)x(N+r)2.

Как правило коэффициенты Фрц модели (1 .8 .1 ) представляют собой функции, которые изменяются во времени существенно мед­ леннее, чем фазовые координаты xpi. Поэтому за время формиро­ вания наблюдения (1.8.3) их можно считать постоянными. Кроме того, для широкого класса моделей, используемых при синтезе ДС, параметры а, (1.8.2) являются константами. Поэтому вполне правомочно равенство

Использование представлений (1.8.4) и (1.8.6) в качестве мо­ делей наблюдения и состояния позволяет применять для опти­ мального по минимуму СКО оценивания алгоритм калмановской фильтрации. Используя (1.8.4) и (1 .8 .6) в (1.4.19Н1.4.23), будем иметь:

где a0 и Dao - начальные условия. При получении (1.8.9) было уч­ тено, что для (1 .8 .6) апостериорная ковариационная матрица рав­ на априорной и в этой модели отсутствуют возмущения. Ероме то­ го, было принято во внимание то, что матрица Dx, которая харак­ теризует шумы возмущений модели (1 .8 .1 ), здесь играет роль мат­ рицы шумов измерений и не всегда обращаема.

Поскольку алгоритм (1.8.7Н1.8.9) представляет разновид­ ность общего алгоритма оптимальной линейной фильтрации, то

для него справедливы все выводы, сделанные в §1.4. В качестве особенностей можно отметить следующие обстоятельства.

В процессе идентификации необходимо постоянно вычислять (1.8.8) и (1.8.9), поскольку матрица Мр (1.8.5) является функцией времени.

Если фазовые координаты х не поддаются непосредственному измерению и вместо них используются оптимальные оценки i, формируемые специальным фильтром, то в (1.8.5) и (1.8.7)—(1.8.9) вместо х необходимо использовать х, а вместо Dx - ковариацион­ ную матрицу D(k), вычисляемую при решении уравнений (1.4.22) и (1.4.23).

Если оптимальные оценки х отсутствуют, но имеются наблю­ дения

хотя бы части фазовых координат процесса (1 .8 .1 ), то для оценки параметров (1 .8 .1 ) также можно использовать общий алгоритм фильтрации (1.4.19)-(1.4.23), преобразовав (1.8.10) к виду, ото­ бражающему его зависимость от параметров (1.8.2). Для этого подставим (1.8.1) в (1.8.10). Тогда получим

z(k) = Нр(к)[фр(к, к - 1)жр(к -1) + $р(к -1)] + ^„(к) =

Мр(к) определяется (1.8.5); ^кв(к)=Нр(к)£р(к-1 )+£р|1(к) - эквивалентный шум измерений с матрицей дисперсий

D,KBG0 = Hp(k)Dx(k)Hp(k) + Djj(k).

Необходимо отметить, что использование моделей (1 .8 .6) и (1 .8 .1 1 ) в алгоритме фильтрации (1.4.19)-(1.4.23) несколько сни­ жает точность идентификации по сравнению с алгоритмом (1.8.7)- (1.8.9). Поэтому такие алгоритмы целесообразно использовать не столько для оценки параметров процессов и систем, сколько для констатации факта изменения этих параметров, например при идентификации результатов измерений в режиме автоматического сопровождения нескольких целей [40] или при идентификации их маневров [41].

При сопровождении многих целей, например в режиме обзора, возможны ситуации, когда все или отдельные измерения не клас­ сифицированы по их принадлежности той или иной цели. При этом возникает задача фильтрации нескольких информационных процессов с одновременной идентификацией измерений, т.е. ре­ шения задачи о принадлежности каждого измерения той или иной цели. Решение такой задачи возможно с позиций теории адаптив­ ной фильтрации, рассмотренной в §1.7.

Положим для простоты рассуждений и обозначений, что изме­ ряется одна координата X (например дальность) для каждого из ш объектов, т.е. имеем Х^; i = 1, тп. Каждая из координат А* отобра­ жается в пространстве состояний вектором xi? т.е. А.*=СТХ£, где Ст=[1 0 ... 0]. Изменение вектора х* во времени задаётся уравнени­ ем

xi(k)=Oi(k,k-l)xi(k-l)+Gi(k-l)Uk-l); (1.8.13)

где к - временной индекс; £xi(k-l) - векторный дискретный белый шум с нулевым математическим ожиданием и матрицей диспер­ сий D ^k-l); Ф4(к,к-1), G^k-l) - матрицы соответствующих раз­ мерностей.

Пусть также имеем N датчиков измерений координат объек­ тов. Для определённости будем полагать N<m. Каждый датчик из­ меряет координату одного из объектов, но неизвестно какого. Для учёта априорной неопределённости измерений по их принад­ лежности одному из объектов примем следующую модель таких

где Ук)=Ки1(к) 4иг(к) 4ик(к)]т - вектор независимых дискретных белых гауссовских шумов с нулевыми математическими ожиданиями и диагональной матрицей дисперсий DH(k)={DHj(k)}. Зависимость вектора £щ(к) шумов от индекса j позволяет учесть разный уровень шумов в различных датчиках при измерении ко­ ординаты одного и того же объекта.

нок матрицы а, что может быть сделано, если определить апосте­

риорные вероятности P(aj|z£) (j = 1,N).

Для нахождения оптимальных оценок координат представим

плотность W(A,(k)|zi) в виде

Wa(k)|zJ)=XW(X(k),a9|z1k),

8=1

где M=mN - число возможных состояний матричной случайной величины а.

Используя общее выражение (1.7.9) для оптимальной оценки информативного процесса А., получаем

координат при заданном значении as.

Таким образом, оптимальная оценка условного среднего фор­ мируется как взвешенная сумма частных условных оценок при за­ данных значениях а8. Весовые коэффициенты при этом определя­ ются апостериорными вероятностями P(a8|zi).

Рассмотрим оценки A^as,k j. Прежде всего, так как компонен­

ты вектора Цк) соответствуют координатам различных объектов,

то оценки этих составляющих £^ав,к| независимы и формируют­

ся автономными фильтрами. Во-вторых, значение матричного па­ раметра а8 определяет вполне конкретную структуру измерений (1.8.16), в которой информация о координате А*(к) содержится в одном, двух, трёх и т.д. (вплоть до N) измерениях. А это значит, что для каждого значения а8 фильтр, формирующий оценку

А^а8,^ , будет обрабатывать различное число Zj(k) наблюдений (и

с различными номерами j). Такая совместная (комплексная) обра­ ботка всех измерений, содержащих информацию о конкретном объекте, приводит к существенному повышению точности фильт­ рации координат объектов.

Для формализации отмеченного факта введём z. (к) - вектор

тех измерений из (1.8.16), которые при значении as обобщённого параметра содержат информацию о координате А^, т.е. измеряют

где ZjJ = {Zjtl,Zj)2,...,Z jjk} - реализация j-го измерения. При этом эволюцию апостериорных вероятностей

(j = 1,N) можно рассматривать независимо. Поэтому рассмотрим

Из данного соотношения следует

где с = l j ZPjaJI*;-1)w jZj(k)|Zj;- \a®j - нормировочная константа.

Плотность вероятности w|zj(k)|z^~l,a®j - гауссовская, что сле­

дует из (1.8.14). Среднее значение для данной плотности опреде­ ляется как

оценка вектора координат объектов, которая определяется из (1.8.18). Заметим, гипотеза заданного а- предполагает обработку

только j-ro измерения и не может включать обработку других из­ мерений.

=оф)эХ)(а?,к)+DHj(k)][aJ8]T> (1.8.22)

где матрица Ва^а?,к| - вычисляется по (1.8.18) для заданной ги­