книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

7.6. В-сплайновая поверхность

Подобно тому как от уравнения кривой Безье мы перешли к уравнению поверх­

ности Безье, мы можем перейти и от уравнения В-сплайна к уравнению В-сплю1:­

новой поверхности:

i=O j=O

где P;,j- задающие точки, расположенные в вершинах задающего многогранни­ ка, как и для поверхности Безье, а N;,k(u) и ~,~(v) - функции сопряжения, ис­

пользуемые для построения В-сплайнов. Эти функции сопряжения определяют­

ся узловыми значениями s0, s1, ... , sn+k и t0, t1, ... , t1+m соответственно. Диапазоны параметров используются в определении В-сплайна, поскольку функции сопря­

жения N;,k(и) и ~,1(v) определены только на этих интервалах, что уже демонст­

рировалось в главе 6. Это верно как для периодических узлов, так и для непе­

риодических. Мы будем рассматривать тольконепериодические узлы по тем же

причинам, что и раньше. В этом случае функции сопряжения В-сплайна будут

совпадать с функциями сопряжения поверхности Безье, если k =n + 1, l =т+ 1.

Поэтому можно утверждать, что поверхность Безье является лишь частным слу­ чаем В-сплайновой поверхности, а уравнение (7.32) описывает как поверхности

Безье, так и В-сплайновые. Чаще всего порядки k и l принимаются равными 4,

поскольку степени уравнений, описывающих поверхности, не должны превы­

шать 3.

В-сплайновая поверхностьснепериодическими узлами обладает свойствами, на­

поминающими поверхность Безье (например, четыре угла задающего многогран­

ника лежат на поверхности, а граничные кривые представляют собой В-сплайны,

определяемые соответствующими подмножествами задающих точек). Покажем, что значению параметра и = О соответствует граничная кривая, являющаяся В­

сплайном. Подстановка и= О в уравнение (7.32) дает1

(7.33)

В соответствии с формулой (7.33), граничная кривая при и= О является В-сплай­

ном с задающими точками Р0.о, Р0,1, ... , Po,rn· Аналогичным образом можно пока­

зать, что и остальные граничные кривые являются В-сплайнами, а их задающие

точки являются краiiннми вершинами задающего многогранника.

7.6.1. Вычисление В-сплайновой поверхности

Координаты х, у и z точки на В-сплайновой поверхности, определяемой значе­

ниями параметров и =u0, v =v0, вычисляются по формуле

i=O j =0

Выражение (7.34) можно переписать, раскрыв суммирование по i:

1 При uыводе (7.33) испо;tьзовался тот факт, что [L;=0 P;N;,k(u)Ju=O =Ро.

Выражение (7.39) мы вычислим также при помощи алгоритма Кокса-де Бура

по задающим точкам Cj и узловым значениям v.

7.7. Поверхность NURBS

Перейдя к однородным координатам задающих точек, из уравнения В-сплайна

мы получили уравнение NURВS-кривой. Точно так же уравнение поверхности NURBS получается из В-сплайновой поверхности:

L Lh~jN;,k(u)Nj.l(v)

i=O j=O

где P;j - векторы задающих точек с компонентами х, у и z, а h;j - однородные координаты задающих точек. Обратите внимание, что узловые значения и диа­

пазоны значений параметров совпадают с указанными в формуле (7.32).

Уравнение (7.40) становится уравнением В-сплайновой поверхности при h;j = 1. Покажите самостоятельно, что при h;j = 1 знаменатель (7.40) тождественно равен

единице. Следовательно, уравнение В-сплайновой поверхности является част­

ным случаем уравнения NURВS-поверхности. Поверхность NURBS к тому же

позволяет точно описать квадратичные поверхности, такие как цилиндр, конус,

сфера, параболоид и гиперболоид. Эти поверхности называются квадратичными, потому что их уравнения имеют степень 2 по и и v. Уравнение NURВS-поверх­

ности часто используется для внутреннего представления. квадратичных поверх­

ностей в системах геометрического моделирования.

Проиллюстрируем использование уравнений NURВS-поверхности в системах объемного моделирования на нескольких примерах. Первый пример: поверх­

ность, полученная трансляцией кривой (рис. 7.6). Предположим, что трансли­ руемая кривая задана NURВS-уравнением. Это предположение не накладывает

никаких ограничений, поскольку уравнение любой кривой из рассмотренных нами может быть преобразовано к форме NURBS. Пусть порядок этой кривой/,

узловые значения t" (р =О, 1, ..., т+/), задающие точки Pj (т+ 1 штук).

(7.41)

Граничная кривая поверхности NURBS представляет собой NURВS-кривую с

соответствующими задающими точками, которые являются крайними вершинами задающего многогранника поверхности. Порядок и узловые значения граничной

кривой совпадают с теми же характеристиками поверхности в соответствующем

направлении. Мы уже показали, что этим свойством обладают В-сплайновые по­

верхности. Следовательно, задающие точки, порядок и узловые значения поверх­

ности в одном из направлений, совпадающем с направлением изменения пара­

метра кривой, получаются из характеристик транслируемой кривой, поскольку она является одной из граничных кривых. В частности, задающими точками на

одном из краев поверхности буДут точки Pi (рис. 7.6). Далее, порядок поверхно­

сти в направлении v будет равен /, а узловые значения будут равны tP (если на­

правления параметров выбрать так, как показано на рис. 7.6).

Рис. 7.6. Поверхность трансляции

Однако нам нужна информация о характеристиках поверхности в направле­

нии и. Предполагается, что направление и совпадает с направлением трансляции

(рис. 7.6), а значит, в этом направлении достаточно линейного уравнения. Сле­

довательно, порядок NURВS-кривой в этом направлении будет равен 2 и задаю­ щих точек тоже будет две. Узловые значения в направлении и будут равны О, О, 1, 1, а наборов узловых точек будет два. Один набор, как уже отмечалось, получа­

ется из Pi, а второй набор получается трансляцией Pj на расстояние d в направ­

лении трансляции. Однородные координаты для обоих наборов будут совпадать с hi транслируемой кривой. Итак, координаты х, у и z задающих точек P;,j и одно­ родные координаты h;j описываются следующими выражениями:

Po.j =Pj;

ции.

Уравнение NURВS-поверхности может быть записано так, как показано ниже. Вычисление осуществляется подстановкой нужных значений параметров:

1

L L;h;,jN;.2(и)Nj,t(v)

i•O j20

Обратите внимание, что ~;(v) в уравнении (7.43) определяется узловыми значе­

ниями tp.

NURВS-уравнение (7.43) может использоваться для представления любой по­

верхности, полученной трансляцией кривой. Например, это NURВS-уравнение

может быть применено для описания цилиндрической поверхности, полученной

трансляцией полуокружности, лежащей в плоскости ху, вдоль оси z (рис. 7.7).

Сначала нам нужно задать NURВS-представление полуокружности. Воспользу-

емся результатами примера 6.6. Задающие точки будут иметь следующие коор­

динаты:

порядок кривой должен быть равен 3, а ее узловые значения равны О, О, О, 1, 1, 2, 2. 2. Координаты задающих точек цилиндрической поверхности будут такими:

лении оси z. NURВS-уравнение цилиндрической поверхности получается под­

становкой P;j и h;j в уравнение (7.43) с учетом того, что l = 3 и т= 4. Узловые

значения в направлении v равны О, О, О, 1, 1, 2, 2, 2, а в направлении и они равны

О, О, 1, 1.

Рис. 7.7. Трансляция полуокружности

Рассмотрим другой пример - поверхность вращения. Пусть вращаемая кривая

лежит в плоскости xz, ось вращения совпадает с осью z, а направление кривоii

совпадает с направлением параметра v создаваемой поверхности (рис. 7.8).

Предположим, что мы имеем дело с NURВS-кривой порядка l с узловыми значе-

L L h;.iN;.з(u)Ni.l(v)

i=O j=O

Обратите внимание, что порядок поверхности в направлении и равен 3, потому

что степени 2 достаточно для представления окружности. Узловые значения ~.1 получаются из NURВS-представления вращаемой кривой, а узловые значения

N;.з следуют из узловых значений представления полуокружности: О, О, О, 1, 1, 2,

2, 3, 3, 4, 4, 4.

Чтобы вычислить координаты х, у и z точки на NURВS-поверхности, мы должны

подставить соответствующие ей значения параметров и = u0 и v = v0 в уравне­

ние (7.44). Тогда мы сможем заметить,что числитель и знаменатель в этом выра­

жении имеют тот же вид, что и в уравнении В-сплайновой поверхности. Поэтому мы можем воспользоваться методом для вычисления В-сплайновых поверхно­

стей, правда, с небольшим изменением для учета однородных координат: при

вычислении числителя h;,jPi.j подставляется вместо P;,j• а при вычислении знаме­

нателя h;,j подставляется вместо P;.j·

Кроме того, можно вычислить производные NURВS-поверхности, применив мето­

дЬI, использованные для вычисления В-сплайновой поверхности и ее производных. Проверку этого утверждения предоставляем читателю в качестве упражнения.

7.8. Интерполяционная поверхность

Мы уже рассматривали проблему создания кривой, проходящей через заданные точки, - интерполяционной кривой. Часто возникает необходимость построе­

ния поверхности, проходящей через заданные точки. Особенно часто это требу­

ется при создании геометрической модели по существующей физической. Суще­

ствует множество методов интерполяции точек данных; эти методы основаны на

различных уравнениях интерполяционных поверхностей. В этом разделе мы вы­

ведем уравнение В-сплайновой поверхности, проходящей через заданные точки.

Обозначим точки ~•.q (р =О, 1, ..., n; q =О, 1, ..., т) в соответствии с рис. 7.9. По­

скольку эти точки накладывают ( n + 1) х (т+ 1) ограничений, можно выбрать лю­

бую В-сплайновую поверхность с числом задающих точек не менее

(n + 1) х (т+ 1). Для простоты мы рассмотрим В-сплайновую поверхность, число

задающих точек которой в точности равно указанному произведению.

i=O j=O

где P;,j- задающие точки. Пусть каждой заданной точке Qp.q соответствуют зна­

чения параметров uP и Vq 1, тогда

(7.46)

1Значение u1, может быть получено методом, описанным о разделе 6.7.2 из узловых значе­

ний, определенных о процессе интерполяции точек Qo.q• Qt.ч• ..., Qп.q В-сплайном. Точно

так же и l'q получается из узловых значений после интерполяции Q.,.o. Qp.t• ..., Qp.m·

220 Глава 7. Представление поверхностей и работа с ними

Можно переписать выражение (7.46), обозначив 'L7=0P;,jNj.l(vч )символом C;(Vq):

i=O

Подставив значения р = O...n в первую строку выражения (7.48), мы получим за­ дающие точки C;(v0) (i =О, 1, ..., n) В-сплайна, интерполирующего точки Qo,0, Q1.0, ~.о...., Q",0, - первой горизонтальной кривой на рис. 7.10. Аналогично, C;(v1) (i =О, 1, ... , n) -задающие точки В-сплайна, интерполируJQщего точки Qo.1• Q1,1, ~.1.... , (1,,1, - второй горизонтальной кривой на том же рисунке, и т. д. Эти за­ дающие точки интерполяционного В-сплайна получаются методом, описанным в

разделе 6.7.2.

Теперь вычислим задающие точки P;j по C;(vq) (q = О, 1, ..., m). Для этого заnи­

шем определение C;(vq) еще раз:

(7.49)

Если теперь подставить значения q = О...т в формулу (7.49), мы обнаружим, что

P;j - задающие точки В-сплайна, интерполирующего точки C;(v0 ), C;(v1), С;(vт). В частности, точки Poj- это задающие точки В-сплайна, интерполирую­

щего C0(v0), C0(v 1), ... , С0(vт), крайние слева точки на рис. 7.10.

Приведем краткое ОП}'IСание процедуры вывода значений Р;,;:

О заданные точкн интерполируются В-сплайном в одном направлении

(рис. 7.10);

Озадающие точки В-сплайнов, полученных на первом этапе, интерполируются n поперечном направлении: берутся i-e задающие точки всех В-сплайнов из