книги хакеры / Вопросы кибербезопасности

hang

e

hang

e

C

E

C

E

X

X

-

d

-

d

F

t

F

t

D

i

D

i

r

r

P

NOW!

o

P

NOW!

o

BUY

BUY

w

to

Информационнаяскоростьтрехсоставногошироковещательногоканаласвязиw

to

w Click

w Click

o

m

o

m

w

w

.

g

.c

.

g

.c

p

p

df

n

e

df

n

e

-xcha

-x cha

ка длиной n, причем x X n , где Xn - n -я декартовая

p(y/x), p(m/x)}, второй ДШВК {X, Y, V; p(y/x), p(v/x)} и

степень множества X. Алфавит источника является

третий ДШВК {X, M, V; p(m/x), p(v/x)}.

входным алфавитом трехсоставного ШВК (ТШВК).

Информационная мера общей

Передача сигналов по ТШВК определяется тре-

информации трехсоставного дискретного

мя дискретными каналами с общим входным ал-

широковещательного канала связи

фавитом (ансамблем)

X, выходными алфавитами

Y, M и V. Кроме этого заданы матрицы переходных

Определим общую информацию (ОИ) между четырь-

вероятностей

P =

{p( y / x)}, P = {p(m / x)},

мясообщениямииззаданныхвходногоансамбляТШВК

P =

{p(v / x)}, x 1X , y Y, m M2

, v V .

X и трех выходных ансамблей ТШВК Y ,

M и V .

3

Рассмотрим дискретный ТШВК для которого

Для дальнейшего анализа применим известный

алфавиты (множества) X, V, Y и M конечны и оди-

метод соответствия между формальными тождества-

наковы

(Y =

{0,1,...,t −1},

M = {0,1,...,t −1},

ми случайных величин, описывающих информаци-

V = {0,1,...,t −1}). Для любых последовательностей

онными мерами (ИМ) и тождествами, справедливым

x X n , y Y n , m M n , v V n

каждая

буква

для

произвольной

аддитивной функции

множеств

выходной последовательности зависит только от со-

μ [10, 13, 26, 27]. Согласно методу ИМ может быть

ответствующей

буквы

входной последовательности

представлена формальным тождеством случайных ве-

x , где

X n ,

Y n

, M n ,

V n - n-я декартовая степень

личин (СВ). Существует соответствие между СВ (ИМ)

множеств X, V, Y и M соответственно. Выходные по-

и ее эквивалентом, справедливым для произвольной

следовательности связаны с входной выражениями:

аддитивной функции множеств μ. Для этого следует

p(y / x)

n

заменить СВ ансамблей алфавитов (сообщений) X,

= ∏ p(y(i) / x(i) ),

Y, M и V

множествами АA, ВB, СC и DD, соответ-

i i1=1

ственно. Затем поставить в соответствие (заменить)

p m / x

n

(1)

символам ИМ («,»; «/»; «;») символы функции мно-

p m(i) / x(i) ,

i 1

жеств μ (« » − объединение множеств; «\ » − раз-

p(v / x)

n

ность множеств; «∩» – пересечение множеств) по

= ∏ p(v(i) / x(i) ),

правилу: «,» ↔ « »

или (и) «/» ↔ «\ »

или (и) «;» ↔

i=1

«∩». Тогда любой ИМ будет соответствовать некоторое

где x

(i)

, y (i) , m (i) ,v (i)

- i -й элемент последователь-

теоретико-множественное выражение. Подставляя

ности

x

, y, m

, v , соответственно.

теоретико-множественные выражения в качестве

В представленном трехсоставном ШВК {X, Y, M, V;

аргументов , можно сопоставить каждой информа-

p(y/x), p(m/x), p(v/x)} каналы первый {X, Y; p(y/x)}, вто-

ционной величине действительную функцию от мно-

рой {X, M; p(m/x)} и третий {X, V; p(v/x)} являются неза-

жеств, т.е. устанавливаются следующие соответствия:

висимыми составляющими каналами связи [10, 25],

H (X ) ↔ (A ); H (Y ) ↔ (B ); H (M ) ↔ (CÑ);

описываются

моделями дискретных

симметричных

H (V ) ↔

D ;

H (X ,Y ) ↔

A B ;

(

)

(

)

каналов (ДСК) без памяти [10, 27],

для которых выпол-

H (X / Y ) ↔ (A

\ B ), где H(X) − энтропия X

няется условие, когда каждый выходной символ ТШВК

[12, 25, 28]; H (Y )

− энтропия Y; H (M )

− энтро-

зависит только от соответствующего входного символа

пия M; H (V ) − энтропия V; H (X ,Y )

— энтропия

(т.е. выход первого составляющего канала (СК) зави-

совокупности ансамблей X и Y; H(X/Y) − условная

сит только от его входа, выход второго СК зависит от его

энтропия X при известном Y [25, 28]. Согласно при-

входа и выход третьего СК зависит от его входа):

меняемому методу, линейное уравнение ИМ – тож-

p(y, m, v / x) = p(y / x)× p(m / x)× p(v / x).

(2)

дество, при этом соответствующее уравнение для

аддитивных функций множеств также является тож-

В ходе дальнейших исследований будем учитывать

деством. Известным теоретико-информационным

стационарность ДСК составляющих каналов ТШВК

тождествам, таким как взаимная информация ка-

[10, 27] (независимость переходных вероятностей СК

нала связи:

I (X ;Y ) = H (X )− H (X / Y )

[8, 9], ус-

в (1) от момента времени i).

ловная взаимная информация ставятся в соответ-

Вышеописанная модель ТШВК {X, Y, M, V; p(y/x),

ствие следующие теоретико-множественные тожде-

p(m/x), p(v/x)} кроме включения трех СК, дополни-

,

тельно может быть декомпозирована на три двусо

\ (B

)), где I(X; Y) − взаимная информация X

ставные ШВК (ДШВК) [9, 10]: первый ДШВК {X, Y, MA

C

80

Вопросы кибербезопасности. 2023. № 3(55)

DOI:10.21681/2311-3456-2023-3-78-89

81

hang

e

hang

e

C

E

C

E

X

X

-

d

-

d

F

t

F

t

D

i

D

i

r

r

P

NOW!

o

P

NOW!

o

BUY

BUY

w

to

Информационнаяскоростьтрехсоставногошироковещательногоканаласвязиw

to

w Click

w Click

o

m

o

m

w

w

.

g

.c

.

g

.c

p

p

df

n

e

df

n

e

-xcha

Введем термин частного количества общей инфор-

-x cha

характеристики, в частности, математическое ожида-

мации.

ние. Пусть задан ансамбль {XYMV, p(x; y; m; v)}

Определение 1. Количеством общей информации

. Величину W (x; y; m; v) представим как функцию,

в сообщении х X о сообщениях у Y, v V и m

отображающую элементы XYMV на числовую ось.

M называется величина

Определим среднее количество ОИ.

W (x; y; m; v)= F(x; y; m)− F(x; y; m / v)=

Определение 2. Математическое ожидание СВ

(10)

W (x; y; m; v) на ансамбле {XYMV, p(x; y; m; v)}

p(x / y)p(x / m)p(x / v)p(x / y, m, v)

называется средним количеством ОИ ансамблей

= log

,

{X , p(x)}, {Y, p(y)}, {M , p(m)}, {V , p(v)} и обо-

p(x)p(x / y, m)p(x / y, v)p(x / m, v)

значается W (X ;Y; M ;V ):

ство СИ в сообщении [10, 11, 25].

W(X;Y; M;V ) MW x; y;m;v

Замечание.

Частное

количество

информации

p(x, y, m, v)

W (x; y; m; v) может принимать в обобщенном случае

различные по знаку и величине значения (т.е. не только

x X y Y m M v V

p x / y p x / m p x / v p x / y, m, v

дляпостановкизадачидляТШВК,номожетбытьнеопре-

(12)

log

делена для некоторых четверок сообщений. Неопреде-

p x p x / y, m p x / y, v p x / m, v

ленность появляется, либо когда под знаком логарифма

F(X;Y; M ) F(X;Y; M /V )

в (10) оказывается выражение вида 0/0, либо когда ус-

F(X;Y;V ) F(X;Y;V / M )

ловная вероятность не определена. Нетрудно видеть, что

F(X;V; M ) F(X;V; M / Y) ,

неопределенности не возникает, если для четверки (х, у,

m, v) XYMV выполнены условияр (v) ≠ 0,р (m) ≠ 0,р

(у) ≠ 0 ир (х) ≠ 0. Неопределенность можно устранить,

где M – символ для обозначения математического

либо произвольным образом доопределив количество

ожидания.

информации, либо исключив из рассмотрения сообще-

Замечание. W (X ;Y; M ;V ) может быть не опре-

ния, вероятности которых равны нулю. Кроме этого,

делена для некоторых четверок сообщений. Неопре-

мера W (x; y; m; v) в (10) может быть определена и

деленность появляется либо когда под знаком лога-

другими способами, т.к. по-другому могут быть опреде-

рифма в (12) оказывается выражение вида 0/0, либо

лены количество информации в сообщении и условное

когда условная вероятность не определена. Нетрудно

количество информации в сообщении.

видеть, что неопределенности не возникает, если для

Так как для любых v V, m M, у Y и х X

четверки (х, у, m, v) XYMV выполнены условия р (m)

таких, что р (v)

≠ 0, р (m)

≠ 0, р (у) ≠ 0 и р (х) ≠ 0,

≠ 0, р (у)

≠ 0, р (v) ≠ 0, р (m,y) ≠ 0, р (у,v)

≠ 0, р

имеют места равенства

(v,m) ≠ 0, р (y,m,v) ≠ 0 и р (х) ≠ 0. Неопределен-

W (x; y; m;v) = F(x; y; m)− F(x; y; m / v) =

ность можно устранить либо произвольным образом

(11)

доопределив количество информации, либо исключив

= F(x; y;v)− F(x; y; v / m) =

из рассмотрения сообщения, вероятности событий

= F(x; m; v)− F(x; m; v / y).

которые равны нулю.

Исследуем W (X ;Y; M ;V ). Воспользуемся лем-

т. е. количество одинаковой информации (ОИ) в сооб-

мой о не превосходстве условной совместной инфор-

щении х о сообщениях v, у и m равно количеству оди-

мации над безусловной совместной информацией

наковой информации в сообщении y о сообщениях x,

[9]. Для модели ТШВК рассмотрим совместную ин-

v и m и равно количеству информации в сообщении

формацию

F(Y; M ;(X ,V )). Используя свойство

m о сообщениях х, v и y. Это замечание показывает,

аддитивности совместной информации [25] запишем

что это количество информации есть

симметриче-

F

(Y; M ;(X ,V )) = F(Y; M ; X )+

ская функция четверки сообщений. Поэтому величину

(13)

+ F(Y; M ;V / X ) = F(Y; M ;V )+

W (x; y; m; v) назовем количеством общей информа-

ции между сообщениями х, m, v и у или просто общей

+ F(Y; M ; X /V ) .

информацией между этими сообщениями.

Для модели ТШВК с независимыми составляю-

Общую информацию можно рассматривать как СВ

щими совместная информация F(Y; M ;V / X ) = 0 .

на ансамбле и вводить для нее различные числовые

Тогда, используя свойство перестановок СИ [25] и вы-

82

Вопросы кибербезопасности. 2023. № 3(55)