Ошибки в учебниках логики

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДА

Введение

Логика необходима каждому человеку хотя бы потому, что она служит преградой для многочисленных интенсивно развивающихся методов манипуляции сознания и способов обмана людей с помощью замаскированных нарушений законов логики. В то же время логика, во-первых, не является

обязательным предметом во многих учебных заведениях и, во-вторых, методики преподавания логики

внастоящее время далеки от совершенства. Именно об этом втором недостатке логического образования пойдет речь в данной статье.

Одним из самых значительных открытий в логике является силлогистика Аристотеля, которая служила человечеству более двух тысячелетий и к настоящему времени мало изменилась. В дальнейшем предпринимались многочисленные попытки усовершенствовать силлогистику [1], и лишь ко второй половине XIX века накопились научные результаты, которые привели в начале XX столетия к созданию математической логики и затем – многочисленного семейства неклассических логик. После этого силлогистика для многих математиков осталась как бы в стороне, и считается примитивным частным случаем логики. Хотя нельзя игнорировать то, что эта модель рассуждений часто используется в повседневной практике, и уже поэтому силлогистика необходима в образовании.

Чтобы лучше понять суть современных проблем логики, рассмотрим вкратце некоторые этапы истории математической логики. В книге [1] ее развитие прослеживается со времен Античности, но коренной перелом произошел не так давно – в конце XIX века, когда были сформулированы основы

теории множеств (Г. Кантор, Р. Дедекинд и др.), открыты парадоксы теории множеств (Г. Кантор,

Ч. Бурали-Форти, Б. Рассел и др.), а на рубеже XIX и XX столетий стали завоевывать популярность публикации математиков и философов, заложивших основы современного аксиоматического подхода (Г. Фреге, Дж. Пеано, Б. Рассел и др.) [2]. Именно в этот период математическая логика стала развиваться в русле аксиоматического подхода, в котором основную роль играют преобразования цепочек символов формального языка с помощью правил вывода (так называемый синтаксический подход). Аксиоматическая теория множеств в настоящее время представлена как одна из теорий на основе исчисления предикатов [3] (русский перевод одного из ранних изданий этой книги – [4]).

Однако без понятия «множество» в логике трудно обойтись. Обоснование правильности модусов силлогизма в учебниках осуществляется с помощью диаграмм Венна [5, с. 205], модельных схем1 или семантических схем2. По сути это выраженные другими терминами варианты соотношений между множествами (включение, равенство, несовместимость и т.д.). При обосновании модусов иногда требуется переборбольшогочиславариантов,приэтомвнекоторыхучебникахневсегдаучитываютсяварианты,которые противоречат правилам вывода в силлогистике. Далее будут показаны примеры такого несоответствия.

Современное состояние математической логики весьма точно характеризует цитата из [3, с. 66; 4, с. 65]. «Поскольку семантические понятия носят теоретико-множественный характер, а теория множеств, по причине парадоксов, представляется в известной степени шаткой основой для исследований

вобласти математической логики, то многие логики считают более надежным синтаксический подход, состоящий в изучении формальных аксиоматических теорий с применением лишь довольно слабых арифметических методов». В качестве интерпретации языка первого порядка, который лежит в основе исчисления предикатов первого порядка, предлагается представление предикатов и функций с использованиемдекартовыхпроизведениймножеств[3,с.54],т.е. для интерпретацииоснованийлогики используется термин, который определен в подчиненной исчислению предикатов теории множеств [2, с. 114].

Вкачестве альтернативы аксиоматическому (синтаксическому) подходу в логике здесь предлагается алгебраический подход, в основе которого лежит алгебра множеств. Основы алгебры множеств были изложены в широко известной книге [6, с. 134–142], впервые опубликованной в 1941 году (предыдущие публикации по алгебре множеств автору неизвестны). В этой книге было высказано предположение, что алгебру множеств можно обосновать без аксиом, на основе только определений основных

1Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику: учебник. – М., 2008. – С. 246; Томова Н.Е., Шалак В.И. Введение в логику для философов. – М., 2014. – С. 134; Логика: учебник для бакалавров / С.С. Гусев, Э.Ф. Караваев, Г.В. Карпов [и др.]; под ред. А.И. Мигунова, И.Б. Микиртумова, Б.И. Федорова. – М., 2023. – С. 144.

2Ивлев Ю.В. Логика: учебник. – 4-е изд. – М., 2022. – С. 121.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДА

операций (дополнение, пересечение, объединение) и отношений (включения и равенства). Более подробно о возможности обоснования алгебры множеств без аксиом сказано в [7, с. 20–23].

Источником противоречия в основном парадоксе теории множеств – парадоксе Рассела – является то, что в его формулировке используется допущение о том, что множество может быть элементом множества. Такое допущение в некоторых разделах математики присутствует и в настоящее время. Однако в алгебре множеств это допущение необязательно – законы алгебры множеств от этого не изменятся. Обусловлено это тем, что в алгебре множеств, в отличие от теории множеств, основным (системообразующим) является не отношение принадлежности элемента и множества ( ), а отношение включения множеств ( ), для которого «самоприменимость» (A A) не приводит к парадоксу.

В отличие от аксиом геометрии Евклида, которые понятны многим, аксиомы логики и теории множеств понятны лишь профессионалам. В то же время алгебра множеств, как показывает опыт преподавания, легко воспринимается школьниками младших классов и даже дошкольниками. При этом основные законы алгебры множеств полностью соответствуют основным законам классической логики.

Это означает, что для обоснования классической логики нет необходимости в аксиомах.

Ограниченный объем публикации не позволяет рассмотреть многие важные для понимания примеры и закономерности. Эти сведения находятся в свободном доступе на сайте http://logic-cor.narod.ru.

1. Некорректности в силлогистике

Практически во всех современных учебниках логики содержится силлогистика. В ней сначала все кажется простым. Даны 4 типа предложений (суждений), которые весьма часто встречаются в повседневной речи и в рассуждениях:

A: Все P есть Q, пример: «Все крокодилы рептилии».

I: Некоторые P есть Q, пример: «Некоторые студенты спортсмены». E: Все P не есть Q, пример: «Все жирафы не земноводные».

O: Некоторые P не есть Q, пример: «Некоторые птицы не летают». A, I, E и O – общепринятые обозначения типов суждений.

Силлогизм (более точное название – категорический силлогизм) состоит из двух посылок и за-

ключения. В силлогизме содержатся три термина, один из них имеется в обеих посылках (он называется средним (M)), два других (предикат (P) и субъект (S)) – в разных посылках.

Для того, чтобы отличить правильные рассуждения от неправильных, в силлогистике разработана весьма сложная система правил. Из-за их запутанности и некорректности силлогистика сейчас весьма непопулярна, хотя на самом деле, как мы увидим далее, это не столь уж и сложная и, к тому же, весьма практичная система анализа рассуждений.

Рассмотрим, как производится проверка правильности силлогизма. Здесь уже начинаются сложности, тем более что для предусмотренных в силлогистике правил нет четкого обоснования. Тройки обозначений типов суждений, содержащихся в силлогизме (например, EIO), соответствуют модусам силлогизма. Каждый силлогизм принадлежит определенной фигуре силлогизма. Фигур всего 4, вот схемы этих фигур (рисунок 1):

Рисунок 1 – Фигуры силлогизма

Фигуры распознаются по расположению среднего термина в посылках. Например, если в каждой посылке средний термин расположен в начале суждения, то это 3-я фигура. Каждая фигура содержит 64 модусасиллогизма,изнихлишьнемногиевключаютсявспискиправильныхмодусов.Этиспискивкаждой

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДА

гетарианцев и т.д.) или их дополнений. Тогда суждение типа A запишется как P Q, суждение типа E – как P Q .

Для выражения «частных» суждений (типы I и O) введемвспомогательные символы, для которых будем использовать греческие буквы (α, β и т.д.). Этими символами обозначим непустые множества. Тогда суждение типа I (Некоторые P есть Q) запишем как два суждения α Pи α Q, а суждение

типа O(Некоторые P не есть Q) – как β P и β Q (в разных частных суждениях одного рассуждения вспомогательные символы должны быть разными).

Заодно расширим (по сравнению с силлогистикой) возможный состав типов суждений – будем использовать отрицание первого термина в суждении (например, «Все (или Некоторые) не P есть Q»). В силлогистике это запрещено (кстати, этот запрет приводит к тому, что некоторые правильные рассуждения распознаются в силлогистике как неправильные).

В качестве правил логического вывода в полисиллогистике предлагается использовать четыре

закона алгебры множеств:

Правило 1: (контрапозиции): A B равносильно B A .

Правило 2: (двойного дополнения); A равносильно A. Правило 3: (транзитивности): если A B и B C, то A С;

Правило 4: (условие непустого пересечения множеств): если α ≠ , и известно, что α A и α B, то справедливо (A ∩ B) ≠ , что на языке силлогистики означает «Некоторые A есть B».

Вывод существенно упрощается, когда сначала для всех посылок используются Правила 1 и 2, а уже после этого Правила 3 и 4.

Кроме того, для анализа и распознавания ошибок в рассуждении при моделировании полисиллогизмов необходимо знание следующих ситуаций, которые называются коллизиями [7, с. 37–46]:

Коллизия парадокса распознается, если при выводе следствий получен результат типа A A (например, «Все прямые – не прямые»). По законам алгебры множеств это означает, что термин A в данном рассуждении соответствует пустому множеству.

Коллизия цикла возникает, если при выводе следствий получена цепочка, начинающаяся и за-

канчивающаяся одним и тем же литералом, например, С B A С. Это означает, что все литералы, входящие в цикл, обозначают одно множество. В некоторых случаях это свидетельствует о логической ошибке (в частности, подмене терминов).

Для иллюстрации метода рассмотрим полисиллогизм: Пример 2: Посылка 1: Все мои друзья хвастуны. Посылка 2: Все мои друзья не скандалисты. Посылка 3: Все хвастуны не уверены в себе. Посылка 4: Все не скандалисты уверены в себе.

Что из этого следует?

ОбозначимД–моидрузья,Х–хвастуны,С–скандалисты,У–уверенныевсебе.Затемдляупрощения анализа нарисуем схему, в которой изобразим все посылки. Тогда получим такое изображение (рисунок 2):

Рисунок 2 – Схема посылок Примера 2

Далее, используя пунктирные стрелки, добавим к посылкам на схеме их контрапозиции. Тогда получим такую схему (рисунок 3).

Найдем на этом рисунке начальные литералы, т.е. те, в которые не входит ни одна стрелка. В некоторых случаях, когда все литералы участвуют в циклах, такое сделать невозможно, но в данном приме-

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДА

ре можно найти один начальный литерал. Это литералД. Теперь начнем «передвигаться» по направлениям стрелок, чтобы выявить цепочки литералов и использовать правило транзитивности для получения

новых следствий. В итоге сформируются цепочки: 1) Д Ñ У Õ Ä ; 2) Д Х Ó С Ä .

Рисунок 3 – Посылки и следствия Примера 2

В обеих цепочках получилась коллизия парадокса Д Ä , которая означает безрадостную для меня ситуацию: анализ показал, что Д – пустое множество. Впрочем, эту ситуацию можно исправить, если предположить, что одна из заданных посылок не совсем точна. Допустим, неверна 4-я посылка, и вместо нее надо использовать обратное утверждение: «Все уверенные в себе не скандалисты». Тогда (можете проверить сами) ситуация в корне изменится – друзья у меня все-таки есть.

Чтобы понять, как в данной системе моделируются случаи, когда из посылок выводятся заключения с частными суждениями (I и O), нарисуем схему для Примера 1:

Обозначим С – мои сослуживцы,Д – мои друзья,В – вегетарианцы. Тогда посылки можно выразить так: 1)α С; 2)α В); 3)Д Â , а схема посылок и их контрапозиций будет выглядеть, как на рисунке 4:

Рисунок 4 – Схема рассуждения Примера 1

Из схемы видно, что из литерала α «достижимы» литералы С и Ä . Это означает С ∩ Ä ≠ («Некоторые сослуживцы не мои друзья» – Правило 4). И этот вывод не зависит от порядка расположения посылок и от того, какой статус (M, S или P) присвоен терминам. Тем более, вывод не зависит от того, какой фигуре силлогизма соответствует данный модус.

Читатель может самостоятельно убедиться в том, что с помощью Правил вывода 1–4 выводятся только те 15 модусов силлогизма, которые считаются правильными в [5] и доказаны с помощью исчисления предикатов в [8]. К ним относятся следующие модусы (в скобках указаны номера фигур):

AAA(1), EAE(1), AII(1), EIO(1), AOO(2), EAE(2), AEE(2), EIO(2), OAO(3), IAI(3), AII(3), EIO(3), IAI(4), AEE(4), EIO(4).

Посмотрим, что получится, если к Правилам 1–4 добавить еще одно.

Правило 5. Если A, B, C – основные литералы рассуждения, и задано ограничение A ≠ , то из A B и A C следует (B ∩ C) ≠ .

В этом случае нетрудно доказать, что к списку правильных модусов добавятся еще 3, а именно: модусы AAI и EAO Фигуры 3 и модус EAO Фигуры 4. Особенность этих модусов заключается в том, что у них после вывода следствий по Правилам 1 и 2 получаются такие связи, при которых один из ли-

тералов является субъектом для двух других, например, D C и D A . В этом случае мы не можем

утверждать, что (С ∩ A ) ≠ , так как без Правила 5 допускается случай, когда D = . Если же ввести ограничение (или дополнительную посылку) D ≠ , то суждение «Некоторые C не есть A» по Правилу 5 оказывается правильным заключением.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДА

Рассмотрим придуманные после Аристотеля якобы правильные модусы, которые являются не выводимыми по Правилам 1–5. К ним относятся (в скобках указаны соответствующие модусам номера фигур): AAI(4), содержащийся в списках из 19 и 24 правильных модусов, а также модусы AAI(1), EAO(1), EAO(2), AEO(2), AEO(4), содержащиеся в списках из 24 правильных модусов.

Рассмотрим, почему эти якобы правильные модусы нельзя считать правильными. Проверка по Правилам 1–4 показывает, что из посылок модуса AAI(4) по законам алгебры множеств выводимо общее суждение (A), а частное суждение (I) из них не выводимо. Однако в силлогистике для этого модуса правильным считается заключение типа I, так как этот модус относится к 4-й фигуре, а в ней правильное по законам алгебры множеств заключение типа A не соответствует правилам силлогистики.

То, что заключение типа I в данном модусе некорректно, станет ясно из анализа остальных якобы правильных модусов, которые называются «ослабленными» модусами. В этих модусах общие заключения (типы A и E), выводимые из их посылок, заменены соответствующими частными (типы I и O). Такая некорректная замена не совместима также с модельными (семантическими) схемами, содержащимися в тех же учебниках.

Предположим, что из посылок силлогизма выводится общее заключение «Все P есть Q» (P Q). В списках из 24 правильных модусов для этих же посылок также справедливо заключение «Некоторые P есть Q». В то же время в модельных (семантических) схемах для этого суждения допускается вари-

ант, в котором справедливо соотношение P ∩Q ≠ (рисунок 5). Нетрудно доказать, что это соотношение вступит в конфликт с заключением P Q. Это свидетельствует о некорректности «ослабленных» модусов.

Рисунок 5 – Вариант модельной схемы для суждения «Некоторые P есть Q»

К перечисленным некорректностям традиционной силлогистики добавляется также запрет менять местами посылки. В рамках алгебры множеств легко доказывается, что нарушение этого запрета не влияет на результат, однако в силлогистике при замене порядка посылок происходят существенные изменения. Простая проверка показывает, что некоторые правильные модусы при замене порядка посылок преобразуются в другие правильные модусы. В то же время имеется шесть правильных модусов (EIO(1), AOO(2), EIO(2), OAO(3), EIO(3), EIO(4)), для которых изменение порядка посылок приводит к тому, что они превращаются в неправильные модусы. Это означает, что некоторые безусловно правильные рассуждения распознаются в силлогистике как неправильные. И эта ошибка присутствует в тех учебниках логики, в которых перечисляются списки правильных модусов, включая книгу [5].

Предложенная методика анализа полисиллогизмов обладает существенно более широкими аналитическими возможностями по сравнению с силлогистикой: при ее использовании, помимо проверки правильности силлогизма, решаются следующие задачи [7]: 1) вывод следствий из произвольного множества посылок; 2) распознавание коллизий типа парадокса или цикла; 3) анализ корректности гипотез; 4) вычисление вариантов абдуктивных заключений.

Заключение

1.На основе бесспорных обоснований (свойств отношения включения множеств) доказана ошибочность ряда правил вывода в силлогистике. Причина ошибок предполагается в том, что теоретические основания силлогистики некорректны.

2.С помощью предложенной на основе законов алгебры множеств методики подтверждается 18 правильных модусов силлогизма. Кроме того, подтверждаются некоторые варианты рассуждений

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДА

с двумя посылками, которые не считаются правильными модусами. Не подтверждаются модус AAI Фигуры 4 и «ослабленные» модусы, у которых общие заключения заменены частными.

Список литературы

1.Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. – М.: Наука, 1967. – 508 с.

2.Бурбаки Н. Теория множеств. – М.: Мир, 1965. – 455 с.

3.Mendelson E. Introduction to Mathematical Logic. – 6th ed. – Boca Raton; London; New York: Taylor & Francis Group, 2015. – 499 p.

4.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1971. – 320 с.

5.Copi I.M.,Cohen C., McMahon K. Introduction to Logic. – Pearson, 2016. – 640 p. – URL: https://pdfdrive.to/ download/introduction-to-logic (дата обращения: 26.04.2023). – Текст: электронный.

6.Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – 3-e изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2001. – 568 с.

7.Кулик Б.А. Логика и математика: просто о сложных методах логического анализа. – СПб.: Политех-

ника, 2021. – 141 с. – URL: http://logic-cor.narod.ru/index/knigi/0-9 (дата обращения: 20.02.2023). – Текст:

электронный.

8.ГильбертД.,АккерманВ.Основы теоретической логики / пер. с нем. А.А. Ерофеева. – М.: Гос. изд-во иностр. литературы, 1947. – 306 с.

References

1.Styazhkin N.I. Formirovanie matematicheskoj logiki. – M.: Nauka, 1967. – 508 s.

2.Burbaki N. Teoriya mnozhestv. – M.: Mir, 1965. – 455 s.

3.Mendelson E. Introduction to Mathematical Logic. – 6th ed. – Boca Raton; London; New York: Taylor & Francis Group, 2015. – 499 p.

4.Mendel’son E. Vvedenie v matematicheskuyu logiku. – M.: Nauka, 1971. – 320 s.

5.Copi I.M.,Cohen C., McMahon K.Introduction to Logic. – Pearson, 2016. – 640 p. – URL: https://pdfdrive.to/ download/introduction-to-logic (data obrashcheniya: 26.04.2023). – Tekst: elektronnyj.

6.Kurant R., Robbins G. Chto takoe matematika? – 3-e izd., ispr. i dop. – M.: MCNMO, 2001. – 568 s.

7.Kulik B.A. Logika i matematika: prosto o slozhnyh metodah logicheskogo analiza. – SPb.: Politekhnika, 2021. – 141 s. – URL: http://logic-cor.narod.ru/index/knigi/0-9 (data obrashcheniya: 20.02.2023). – Tekst: elektronnyj.

8.Gil’bert D., Akkerman V. Osnovy teoreticheskoj logiki / per. s nem.A.A. Erofeeva. – M.: Gos. izd-vo inostr. literatury, 1947. – 306 s.