Напряжения и перемещения при изгибе
Нормальные напряжения при изгибе прямого бруса
Рассмотрим балку при чистом изгибе: |
M |
Q = 0. |
|
Z ; |
Y |
||
Выделим участок балки, где |
MZ |
= const |
|
MZ |
|
|
|
MZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные положения
1.При чистом изгибе возникают растянутые и сжатые зоны. Волокна, находящиеся на границе зон, не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Эти волокна образуют нейтральный слой.
Сжатая зона
M
MZ
Нейтральный слой |
|
|
|
Растянутая зона |
|
|
|
|
|
|
|
Основные положения (продолжение 1)
2. Справедлива гипотеза плоских сечений. Сечения бруса, бывшие плоскими и нормальными к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси бруса после деформации (Синии сечения).
3. Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной осью сечения.
Нейтральная ось
Нейтральный слой
Основные положения (продолжение 2)
4. Отсутствие давления между продольными волокнами или
слоями бруса.
Y
Z
X
Это означает, что напряжения σY = 0 и остаются только напряжения σX .
Поэтому напряженное состояние при изгибе – одноосное
Геометрические соотношения при изгибе
|
|
(dx) yd |
|
dφ |
dx d |
ρ |
Z |
|
M |
|
|
(dx) |
dφ |
|
(dx) |
|
y |
|
dx+ (dx)- dx |
|
|
||||
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
x E x |
x E y |
|
|
Положение нейтральной оси |
|
|
|||||||||
При чистом изгибе продольная сила NX равна нулю |
|
||||||||||
|
Y |
|
|
|
|
N |
x |
|
dF |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
dF |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
N |
|
|
|
dF E |
ydF 0 |
||
Нейтральная ось |
|
|
Z |
x |
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
z |
σX |
|
|
F |
|
|
|
F |
|
Итак, равен нулю интеграл, который есть статический моментS |
|||||||||||
относительно оси Z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydF S y F 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
c |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести |
|||||||||||
сечения, координата которого |
yc =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выбор системы координат |
|
|
||||||
Поместим начало координат в центр тяжести сечения С. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF |
|
|
|
|
E |
|
y |
|
|
M |
y |
|
zdF |
yzdF 0 |
|
|
|
Z |
|
|||||
Нейтральная ось |
|
|
x |
|
|
|
||
С |
z |
σX |
|
|
F |
|
F |
|
Поэтому равен нулю интеграл, который есть центробежный |
||||||||
моментинерции IYZ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
yzdF Iyz 0.
F
Аэто означает, что оси Y и Z есть главные центральные оси сечения.
Напряжения и относительные деформации
Подсчитаем теперь изгибающий момент создаваемый напряжениями σx.
M |
z |
|
ydF E |
y2dF E I |
z |
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F |
|
|
F |
|
|
|
|
||
|
|
E |
|
M z |
x |
E |
y |
M |
z y x |
|||
|
|
|
I z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
I z |
|
||||
MZ ,
I z y2dF
F
M z y EI z
Итак, и напряжения, и относительные деформации при изгибе являются линейной функцией координаты Y точки сечения.
Эпюра нормальных напряжений при изгибе |
||||||||
Y |
|
|
|
|
|
x |
M z y |
|
|
Y |
σX |
max |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Iz |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σX |
xmax M z ymax |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
I z |
|
|
|
xmax M z |
Wz |
I z |
||||
|
|
max |
||||||
|
|
|
|
|
|
Wz |
y |
|
Дляпрямоугольногосечениясоснованиемbивсотойh, |
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
bh |
|
|
bh |
|
|||
I |
|
|
|
W |
|
|
||
z |
, |
|
|
|
z . |
|
|
|
|
12 |
|
6 |
|
|
|||
Нормальные напряжения при поперечном изгибе
При поперечном изгибе не равны нулю и MZ , и QY .
При наличии поперечной силы гипотеза плоских сечений, строго говоря, не оправдывается.
Однако, если отношение высоты h балки к ее длине L
hL 1,
то искажение сечений мало и гипотеза плоских сечений выполняется с большой степенью точности и для нормальных напряжений справедлива формула
x Mz y Iz