Лекции / Доп лекции / Lecture2 2022

1

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Простейшие типы уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро

1.Простейшие типы уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и приводящиеся к ним.

2.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

где все функции f, g, P, Q, R и S непрерывны.

Решения уравнений данного типа ищутся следующим образом. 1. Перепишем уравнение (1) в виде

dxdy = f(x)g(y)

и "разделим"переменные:

dy = f(x)dx: g(y)

Для уравнения (2) данный шаг выглядит так:

P (x)dx = S(y) dy:

R(x) Q(y)

2.Проинтегрируем левую часть полученного соотношения по x; а правую по y :

Z Z

dy = f(x)dx: g(y)

2

Пусть G(y)- какая-либо из первообразных функции 1=g(y); а F (x)- какая-либо из первообразных функции f(x):

Тогда формула

задает решение в неявной форме исходного уравнения (1). Под этим мы всегда будем понимать следующее:

если дифференцируемая функция y : I ! R для некоторого C 2 R удовлетворяет тождеству

G(y(x)) = F (x) + C; x 2 I;

(т.е.неявно задается соотношением (3), то она является решением рассматриваемого уравнения (1).

Для уравнения (2) данный шаг полностью аналогичен. 3.Уравнение (1) имеет еще решения вида

y y0;

где y0 - корень уравнения g(y) = 0: Эти решения были "потеряны,"когда мы делили обе части уравнения на g(y):

По тем же причинам уравнение (2) имеет еще решения вида

y y0;

где y0 - корень уравнения Q(y) = 0; и решения вида x x0;

где x0 - корень уравнения R(x) = 0:

Рассмотрим в качестве примера задачу 51 из "Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям."

Решить уравнение xydx + (x + 1)dy = 0: Разделяем переменные:

xxdx+ 1 = dyy :

Интегрируем левую часть:

3

Интегрируем правую часть:

Z

dyy = ln jyj + C:

Таким образом,решения нашего уравнения задаются неявно соотношением:

ln jx + 1j x + C = ln jyj; C 2 R:

Потенцируя,получаем

eCjx + 1je x = jyj

или

eC(x + 1)e x = y:

Следующий прием будет использоваться неоднократно в дальнейшем. Заметим,что константа eC может быть произвольным положительным числом. Далее, как видно из формулы, функция y непрерывна и нигде не обращается в нуль, поэтому знак плюс или минус в этом соотношении выбирается не для каждого x отдельно, а сразу для всей области определения. Поэтому можно "включить"знак в произвольную постоянную eC; которая таким образом будет произвольным положительным или отрицательным числом.

Итак,получили формулу для решений

где C- произвольное число не равное 0: Рассматриваемое уравнение имеет еще решения y 0 и x 1: Первое из них получается, если в формуле (3.4) взять C = 0:

Окончательно получаем

y = C(x + 1)e x; C 2 R; x = 1;

:57: Решить уравнение 2x2yy0 + y2 = 2: Сначала перепишем уравнение в виде

2x2y dxdy = 2 y2:

Затем разделяем переменные и интегрируем:

4

Для вычисления интеграла, стоящего в левой части, внесем выражение, стоящее в знаменателе, под дифференциал:

Таким образом,получаем (C- произвольная постоянная)

ln j2 y2j + C = x1 , ln j2 y2j + C = x1 ,

p

, 2 y2 = eCe1=x , 2 y2 = Ce1=x , y = 2 Ce1=x:

Здесь мы снова включили знак (возникший в связи с избавлением от

модуля) в произвольную постоянную, а затем еще учли, что 2 y2 = 0 , p

y = 2- тоже решения нашего уравнения, "потерянные"при делении на 2 y2:

:55: Найти решения уравнения, удовлетворяющие заданному начальному условию:

p

y0 = 3 3 y2; y(2) = 0:

Сначала найдем общую формулу для решений, а затем отберем решения, удовлетворяющие условию y(2) = 0:

p

Кроме того, при делении "потеряли"решение y 0: Ясно,что заданному условию удовлетворяют решения y = (x 2)3 и y 0:

Таким образом,получаем совокупность

y = (x 2)3;

(5)

y = 0;

На первый взгляд кажется, что задача имеет только эти два решения. Однако это не так: легко убедиться, что решением будет всякая функция вида

5

На самом деле,совокупность (6) следует понимать так: решение есть непрерывная функция, определенная на объединении промежутков, на каждом из которых она задается одной из формул совокупности.Именно такой смысл мы и будем в дальнейшем вкладывать в запись решений в виде совокупности типа (5).

2.2. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним. Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение вида

называется однородным относительно x и y; если f(x; y) есть однородная функция своих аргументов т.е.f(tx; ty) = f(x; y). Однородное уравнение всегда можно представить в виде

Вводя новую искомую функцию u = xy ; уравнение (7) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

Если u = u0 есть корень уравнения '(u) u = 0; то решение однородного уравнения будет u = u0 или y = u0x (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (8). Можно сразу делать подстановку y = ux:

Пример 1. Решить однородное уравнение xy0 = px2 y2 + y:

q

Отсюда интегрированием находим

arcsin u = ln jxj + ln C1; (C1 > 0);

иметь общий интеграл arcsin y=x = ln Cx: Отсюда общее решение: y = x sin ln Cx:

При разделении переменных мы делили обе части уравнения на про- p

изведение x 1 u2; поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение. p

Положим теперь x = 0 и 1 u2 = 0: Но x 6= 0 в силу подстановки u = xy ; а из соотношения p1 u2 = 0 получаем, что 1 xy22 = 0; откуда y = x: Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции y = x и y = x также являются решениями данного уравнения.

Уравнения, приводящиеся к однородным

А. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

где a; b; c; a1; b1; c1 постоянные, а f(u)bнепрерывная функция своего аргумента u:

Если c = c1 = 0; то уравнение (8) является однородным и оно интегрируется, как указано выше.

Если хотя бы одно из чисел c; c1 отлично от нуля, то следует различать два случая.

получаем однородное уравнение

7

Найдя его общий интеграл и заменив в нем на x h; a y k; получаем общий интеграл уравнения (3).

2) Определитель

Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае aa1 = bb1 = ; ; следовательно, уравнение

его к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения первого порядка Дифференциальное

называется линейным уравнением первого порядка. Для того,чтобы решить уравнение (12) сначала решим соответствующее однородное уравнение

Это уравнение является уравнением с разделяющимся переменными. Интегрируя находим

R

y(x) = Ce a(x)dx: (14)

Затем считая постоянную C функцией от x дифференцируем и находим

Подставляя в уравнение получим C0 = x; C = x2 + C1 и пишем решение исходного уравнения y = x4 + C1x2:

Некоторые уравнения становится линейными если поменять местами независимую переменную и искомую функцию, т.е. мы получим линейное уравнение для функции, обратной к искомой функции.

Например следующее уравнение (задача 145 из Филиппова) не яв-

и затем получим линейное уравнение относительно функции x = x(y)

2.3. Уравнение Бернулли, уравнения в полных дифференциалах

Нелинейное уравнение первого порядка

где a(x); b(x) непрерывные функции,определенные на некотором отрезке [ ; ]; m 6= 0; m 6= 1 называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли заменой z = y1 m приводится к линейному уравнению

Рассмотрим в качестве примера задачу 151 из задачника Филиппова. Уравнение Бернулли имеет вид

9

Делая замену z = y1 получим линейное уравнение относительно функции

Дифференциальное уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах если существует функция F (x; y) такая,что

@F (x; y)

@x

= P (x; y)

и

@F (x; y)

@y

= Q(x; y):

В этом случае уравнение (28) может быть написано в виде

dF (x; y) = 0

и решение в неявной форме задается уравнением F (x; y) = c: Интегрирующим множителем для уравнения (28) называется такая

функция m(x; y); после умножения на которую уравнение (28) является уравнением в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель существует теоретически всегда, но нет общего метода нахождения его. В общем случае интегрирующий множитель является функцией от двух переменных.Иногда его можно найти как функцию от одной переменной.

Рассмотрим случай m(x; y) = m(x): Если функция является интегрирующим множителем, то имеет место

Из этого равенства мы получаем дифференциальное уравнение для m(x; y) = m(x:

m0(x) = Py Qx : m Q

Если выражение

Qy Px

Q