Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

Пусть числовой ряд un

сколь угодно далеко содержит как положительные, так и

n 1

отрицательные слагаемые,

т.е. N m n N : um un 0. Такой ряд называется

(1)

v1 v2 v3 v4 ... 1 n 1 vn ... 1 n 1 vn ,

где все vn 0.

Имеет место оценка остатка ряда лейбницевского типа:

rn

S Sn

vn 1.

1.

S

2k

1

v

2

3

4

...

v

2k 1

v

2k

v

v

v

S

v v

v

v

... v

v

v

v

2

1

2

3

4

2k 1

2k

2k 1

2k 2

k 1

S2k

v2k 1

v2k 2

S2k

S

2k

lim S2k

S,

k 1 монот. неубыв.,

2. S2k

v1

v2

v3

v4

v5 ... v2k

2 v2k 1 v2k v1

k

S2k

ограничена сверху,

k 1

3. S2k 1

S2k

v2k 1

lim S2k 1

lim

S2k

v2k 1

lim S

2k S.

k

k

k

n

n

n

S ряд

сходится.

Таким образом, lim S

1 n 1 v

S

2k 1

v

v

v

...

v

v

,

1

2

3

2k

2k 1

S2k 1

монот.невозр.

S2 k 1 1 v1

v2 v3 ... v2k v2k 1 v2k 2

v2k 3

S2k 1

k 0

такимобразом,

S2k 1

S ,а S2k

S

монот.невозр

монот.неубыв

S2k S S2k 1 0 S S2k

S2k 1 S2k v2k 1

S Sn

vn 1.

S

S S

0 S

S S

S

v

2k 2

2k 1

2k 1

2k 1

2k 2

2k 2

n

1

1

сходится при 0, т.к.

0,

n 1

n

n

монот.убыв

1

n

1

сходится, т.к.

0.

ln n

n 1

ln n монот.убыв

n

1

1

2

сходится абсолютно, т.к.

сходится

2 1 ,

n

n

2

n 1

n 1

1

n

сходится условно, т.к. сам он лейбницевского типа,

n 1

n

1

n

n

1

n

n

1

n

Исследуем ряд

n 1

. Рассмотрим

n 1

n

.

n 2

n 2

1 n

1 n

1 n

n

n 1 n

1 2n

n

n

n

n

n 1

n 1

n

n 1

n

1

эквив.

1

1

n

1

n

расходится.

n

1

n

n

n

n

n

1

n

n

n 2

1

n

1

n

При этом

сходится, ряд

расходится.

n

n

n

n 2

n 2

1

1

n

n

1

n

n

1

n

Исследуем ряд

. Рассмотрим

.

n 2

n 1

n 2 n 1

n

n

n

1 n

n n

1 n

2n

1

1

1

n

2

n

2

n

n

n 1

n 1 n

n 1 n

1

эквив.

1

1

n

1

n

сходится.

n

2

1

n

n

n

n

2

1

n

n

n 2 n

1

n

1

n

При этом

сходится, ряд

сходится.

n

n

n 2

n 2 n

1

1

n

3n 1

n

Пример: Исследовать на сходимость ряд

n

2

1

n 3

.

n 1

Имеем q lim n

1

3n 1

n

3 1. Согласно радик. призн. Коши,

n

2

1

n 3

n

модуль общего члена

1

3n 1

n

не стремится к 0 и сам он

n

2

1

n 3

Bn

сумм ряда

an , а

Пусть An n 1 последовательность частичных

n 1

n 1

последовательность частичных сумм ряда an .

Возьмем m n 1, тогда

n 1

m

Bn 1 Bn an 2

Bn 2 Bn 1 ... am Bm Bm 1

akbk an 1bn 1 ... ambm an 1

k n 1

перегруппируем an 1Bn an 1 an 2 Bn 1 ... am 1 am Bm 1

am Bm

m 1

an 1Bn am Bm ak ak 1 Bk .

k n 1

m

m 1

Преобразование Абеля: ak bk

an 1Bn am Bm ak ak 1 Bk .

k n 1

k n 1