Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 1
Двойной интеграл 1.
11 сентября 2014 года Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Основные определения, примеры
П.1. Измеримые множества. Мера множества.
ОПР. Областью G на плоскости назовем открытое, связное множество, т.е 1) вместе с каждой точкой P G области принадлежит и внутренность некоторого круга U (P) M R2 : (M , P) с центром в точке P;
2)для любых двух точек P и Q области существует непрерывная кривая,
: ; R2 для которой ( ) P, ( ) Q и (t) G, t ; .
Замкнутая, ограниченная область
Опр. Границей G области G называют множество точек Т плоскости,
0
для которых любой круг U T с центром в точке Tсодержит точки M G и точки M G.
Опр. Множество G G G называется замкнутой областью или замыканием области G.
Опр. Область называется ограниченной, если существует круг на плоскости или шар в пространстве, содержащий данную область. Опр. Замкнутая, ограниченная область называется компактом.
Примеры областей
1. Прямоугольник Пac,,bd (x, y) R2 : a x b, c y d на плоскости или параллелепипед в пространстве.
2. Ступенчатая фигура или тело - объединение прямоугольников, пересекающихся только по границе.
Диаметр d( ) max d(П )
3. Криволинейная трапеция.
Ka,b ( f , g, x) x, y : a x b, g(x) y f (x)
Мера области, площадь, объем
Опр. Верхняя мера области (G) inf S G , где S G
ступенчатой фигуры, описанной около G.
Опр. Нижняя мера области (G) sup S G , где S G
площадь
площадь
ступенчатой фигуры, вписанной в G.
Опр. Область называется измеримой, если (G) (G) (G)
Критерий Коши измеримости
0 |
|
|
G G |
|
: G , G , d( ) , d( ) |
||||
Если G описанная ступенчатая фигура, G вписанная ступенчатая фигура,
то G G \ G G G \ G G G
Свойства меры
В рассмотренных примерах: 1) (Пac,,bd ) (b a) (d c)
b
2) (Ka,b ( f , g, x)) ( f (x) g(x))dx
a
Свойства: 1. (G) 0
2.Если области G1 и G2 измеримы и G1 G2 , то (G1) (G2 )
3.Если G измеримая область, то ( G) 0.
Док. 0 1, 2 : области G 1 , G 2 вписанная и описанная ступенчатые области и G G 2 \ G 1
0 ( G) ( G) (G 2 \ G 1 ) ( G) ( G) 0
Интеграл Римана
4.Если области G1 и G2 измеримы и пересекаются по границе, то
(G1 G2 ) (G1 ) (G2 )
5.Если области G1 и G2 измеримы, то измеримы G1 G2 и G1 G2 и
(G1 G2 ) (G1 ) (G2 ) (G1 G2 ) П.2. Понятие двойного интеграла.
Функция f (x, y) определена в измеримой области G и G - вписанная ступенчатая область. В каждом прямоугольнике П G выбирается произвольная точка M П и составляется интегральная сумма
SG ( f , ) f (M ) (П )
Опр. Интегралом Римана функции f (x, y) по области G называют число
f (x, y)dxdy lim SG ( f , )
G
Пример непосредственного вычисления интеграла
Пример1. Найти xydxdy, исходя из определения.
|
П0,10,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разбиение: П0,10,1 |
|
|
n |
Пi, j |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i |
|
j 1 |
|
j |
|
|
||||
Пi, j (x, y) : |
|
|
|
x |
|
, |
|
|
y |
|
|
, i 1,2,...n, |
j 1,2,...n |
|
|
n |
|
n |
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||
Точки: Mi, j (ni ; nj), параметр разбиения: d( ) n2
Интегральная сумма: S f (П, ) n n in2j (Пi, j )
i 1 j 1
n n |
i j 1 |
|
1 |
n |
n |
1 n(n 1) |
n |
(n 1)2 |
|
1 |
|||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
i j |
|
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
|
n |
n |
4 |
n |
4 |
2 |
4n |
4 |
||||||||||
i 1 j 1 |
n |
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
i 1 |
|
|
||||||
Свойства двойного интеграла
1.Линейность.
1 f (x, y) 2 g(x, y) dxdy 1 f (x, y)dxdy 2 g(x, y)dxdy
G |
G |
G |
||
2. Интегрирование неравенств. |
|
|
||
Если f (x, y) 0, то f (x, y)dxdy 0 |
|
|||
G |
|
|
||
3. Оценка интеграла: |
|
|
||
|
|
, M max f ( p), |
m min f ( p), то |
|
Если f (x, y) непрерывна на G |
||||
|
|
|
p G |
p G |
m (G) f (x, y)dxdy M (G).
G
4.Теорема о среднем: существует C G такая, что
f (x, y)dxdy f (С) (G)
G