Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 4
Криволинейные интегралы.
2 октября 2014 года Лектор: НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н., доцент Ткаченко Дмитрий Сергеевич
Криволинейные интегралы
Рассмотрим на плоскости некоторую кривую L, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания.
Криволинейные интегралы
Пусть эта кривая задана одним из трёх способов: 1) в декартовых координатах
yy(x), x [a, b],
2)в полярных координатах
r r( ), [ , ],
3) параметрически
L : |
x x(t), |
t [a, b], |
|
||
|
y y(t). |
|
Поскольку первые два способа являются частными случаями третьего, основные действия будем проделывать для случая параметрического задания кривой.
Криволинейные интегралы
Полагая, что функции, задающие кривую, непрерывно дифференцируемы, введём определение.
Опр. Дифференциалом дуги кривой L называется 1)в декартовых координатах
dl 
1 y 2 (x) dx,
2)в полярных координатах
dl 
r2 ( ) r 2 ( ) d ,
3)в случае параметрического задания
dl 
x 2 (t) y 2 (t) dt.
Криволинейные интегралы
Поясним геометрический смысл этого определения на примере параметрически заданной кривой.
Поскольку по теореме Пифагора
l 
x2 y2 ,
а |
|
|
|
x dx x (t) dt , |
y dy y (t) dt , |
Получаем формулу из определения:
l dl 
x2 y2 
x 2 (t) y 2 (t) dt.
Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы
Введём на кривой L разбиение. Для этого разобьём отрезок [a, b] на
частичные отрезки
a t0 t1 t2 . . . tn b,
получаем, что кривая L тоже разбивается на частичные дуги точками с координатами
x(t0 ), y(t0 ) , x(t1 ), y(t1 ) , x(t2 ), y(t2 ) , . . . , x(tn ), y(tn ) .
На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку
i ti 1, ti .
Ей на кривой будет соответствовать некоторая точка частичной дуги
i , i L , |
i x( i ), |
i y( i ). |
Диаметром построенного разбиения будем называть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max dl |
max (x |
x |
)2 ( y |
i |
y |
i 1 |
)2 . |
|||
1 i n |
i |
1 i n |
i |
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы
Пусть теперь в каждой точке кривой заданы непрерывные функции
f (x, y), P(x, y), Q(x, y).
Выражения
|
n |
|
|
1 f ( i , i ) li , |
|
n |
i 1 |
n |
2 P( i , i ) xi , |
3 Q( i , i ) yi |
|
i 1 |
|
i 1 |
мы будем называть первой, второй и третьей интегральной суммой, соответственно.
Криволинейные интегралы
Если теперь рассмотреть всевозможные разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки и всевозможные способы выбора произвольных точек
i ti 1, |
ti |
и устремить диаметр разбиения к нулю (т.е. рассматривать только разбиения со всё меньшим диаметром), то интегральные суммы будут стремиться к своим пределам, которые мы будем называть
криволинейным интегралом первого и второго рода, соответственно, и обозначать:
f (x, y) dl, |
P(x, y) dx, |
Q(x, y) dy, |
L |
L |
L |
причём сумму двух последних интегралов называют общим криволинейным интегралом второго рода и обозначают
P(x, y) dx Q(x, y) dy.
L