![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Интегрирование рациональных выражений
- •1.16). . Разложение знаменателя по корням
- •Теорема (необходимый признак существования экстремума).
- •Теорема (достаточные условия экстремума).
- •Теорема о существовании и единственности решения Задачи Коши (3.2),(3.4).
- •3.2). Решить Задачу Коши:
- •3.3). Найти общее решение уравнения
- •3.4). Решить уравнение
- •3.5). Решить уравнение
- •3.6). Решить уравнение
- •3.14). Решить уравнение .
- •3.15). Решить уравнение .
- •Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебный комплекс для студентов – экономистов 1-го курса
Второй семестр
1. Интегрирование
Неопределенный интеграл
Основной операцией дифференциального исчисления является дифференцирование - нахождение производной данной функции. Обратной к этой операции является интегрирование – отыскание функции по известной ее производной. В этом разделе рассматриваются некоторые из основных методов и приемов интегрирования.
Функция
,
для которой выполняется равенство
для всех
из области определения
,
называется первообразной функции
.
Несколько примеров первообразных для
различных функций приведем в следующей
таблице.
Таблица 1.
-
0
1
Если
-
первообразная функции
,
то функция
,
где С – любое действительное число,
также является первообразной функции
,
т.к
.
Теорема 1. Любые две первообразные
и
данной функции
отличаются только на некоторую постоянную,
т.е. существует число
такое, что
.
Доказательство. Поскольку
и
,
то
.
А это означает, что
.
Итак,
.
Следствие. Если - одна из первообразных функции , то множество всех ее первообразных имеет вид .
Теорема 2. Если функция непрерывна в области своего определения, то она имеет первообразную, определенную в этой же области.
Множество всех первообразных данной
функции
называется ее неопределенным интегралом
(обозначается
):
.
Здесь
- переменная интегрирования,
- подынтегральная функция,
- подынтегральное выражение,
-знак
неопределенного интеграла,
- одна из первообразных функции ,
С – произвольная постоянная (
)
называемая постоянной интегрирования.
Например,
.
Множество всех первообразных
подынтегральной функции
представляет собой множество парабол
отличающихся от первообразной
параллельным переносом по оси
.
Таким образом, все эти параболы покрывают
сплошь плоскость
.
При этом через каждую точку плоскости
проходит только одна из парабол этого
семейства первообразных.
Свойства неопределенного интеграла.
I.
.
II.
,
или
.
III.
.
IV.
.
Таблица простейших неопределенных интегралов.
1.
,
.
7.
.
2.
.
8.
.
3.
.
9.
,
.
4.
,
.
10.
,
.
5.
.
11.
.
6.
.
12.
.
Разложение подынтегральной функции на слагаемые.
Представляя подынтегральную функцию в виде алгебраической суммы отдельных слагаемых, можно воспользоваться свойством IV и проинтегрировать каждое слагаемое отдельно, используя в дальнейшем табличные формулы.
1.1).
.
1.2).
.
1.3).
.
Введение функции под знак дифференциала.
Этот наиболее часто употребляемый прием заключается в следующем преобразовании
.
При этом, как правило, используется одно
из следующих соотношений:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
1.4).
.
1.5).
.
1.6).
.
1.7).
.
Метод подстановки.
Упрощение интеграла
достигается введением новой независимой
переменной
.
Замена
позволяет
преобразовать исходный интеграл к
следующему виду:
,
т.к.
.
1.8).
.
Чтобы избавиться от иррациональности,
используем замену переменной
.
Т.к.
,
то
.
1.9).
.
Найдем область определения подынтегральной
функции
.
.
Отсюда замена переменной имеет вид
,
а
.
И, т.к.
,
то
.
Здесь
.
1.10).
.
Используем замену переменной
.
Тогда
.
Следовательно,
.
Интегрирование по частям.
Если
и
- непрерывно дифференцируемые
функции, то, поскольку
,
справедлива следующая формула
,
использование которой называют
интегрированием по частям.
11.11).
.
Здесь
.
1.12).
=
.
Последний интеграл вычислим отдельно, вторично применяя интегрирование по частям.
.
Итак, окончательно
получаем
.
Задания для самостоятельного решения
1.1.
.
1.8.
.
1.15.
.
1.22.
.
1.2.
.
1.9.
.
1.16.
.
1.23.
.
1.3.
.
1.10.
.
1.17.
.
1.24.
.
1.4.
.
1.11.
.
1.18.
.
1.25.
.
1.5.
.
1.12.
.
1.19.
.
1.26.
.
1.6.
.
1.13.
.
1.20.
.
1.27.
.
1.7.
.
1.14.
.
1.21.
.
1.28.
.
Ответы:
1.1.
.
1.8.
.
1.15.
.
1.22.
.
1.2.
.1.9.
.
1.16.
.
1.23.
.
1.3.
.
1.10.
.
1.17.
.
1.24.
.
1.4.
.
1.11.
.
1.18.
.
1.25.
.
1.5.
.1.12.
.
1.19.
.
1.26.
.
1.6.
.
1.13.
.
1.20.
.
1.27.
.
1.7.
.
1.14.
.
1.21.
.
1.28.
.
Интегрирование рациональных выражений
Рассмотрим интеграл от рациональной
дроби
,
в которой степень многочлена
в числителе не меньше степени многочлена
в
знаменателе. Деление с остатком числителя
на знаменатель позволяет представить
эту подынтегральную функцию в виде
суммы многочлена, как целой части данной
неправильной рациональной дроби, и
некоторой правильной рациональной
дроби
(степень многочлена
меньше степени многочлена
).
1.13).
.
Подынтегральная функция здесь - это
неправильная рациональная дробь.
Деление с остатком (“деление в столбик”)
позволяет выделить ее целую часть и
представить в виде:
.
А исходный интеграл вычисляется как
разность двух интегралов.
.
Из курса алгебры известна следующая
Теорема. Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида
,
где
;
.
1.14).
.
В соответствии с разложением знаменателя
данной рациональной дроби по корням
сама дробь по сформулированной выше
Теореме представляется в виде суммы
простейших дробей первого типа
.
Умножая обе части этого равенства на
,
получим
.
Это равенство двух многочленов выполняется
тождественно для всех
,
а это возможно только при совпадении
коэффициентов при одинаковых степенях
.
Решая эту систему трех линейных уравнений
с тремя неизвестными, получаем
,
,
.
Таким образом, подынтегральная функция
представляется в виде
,
поэтому
.
1.15).
.
Поскольку многочлен третьей степени в
знаменателе данной правильной дроби
обращается в нуль при
,
остальные его корни находим делением
этого многочлена на
,
и получаем следующее разложение
знаменателя дроби по корням
,
в соответствии с которым по той же Теореме записываем представление подынтегральной функции в виде
.
В этом представлении множителю
соответствуют две дроби второго и
первого типа. Умножая обе части этого
равенства на
,
т.е. освобождаясь от знаменателей,
получим равенство двух многочленов
.
Составить систему
для определения коэффициентов
можно двумя способами: приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях
,
или подставить в равенство многочленов
.
Итак, получаем
.
Следовательно,
.
1.16). . Разложение знаменателя по корням
определяет представление подынтегральной
функции в виде суммы простейших дробей
первого и третьего типов
.
Коэффициенты
находим
из тождества
,
в которое подставляем четыре различных
значения
.
Отсюда система
,
имеющая решение
.
Таким образом, исходный интеграл
представлен в виде суммы следующих
интегралов:
.
Последний интеграл в правой части равенства вычислим выделяя в числителе производную
знаменателя
и выделяя полный квадрат в знаменателе
второго из следующих интегралов:
.
Окончательный ответ выглядит так
.
Замечание. При вычислении интеграла
были
продемонстрированы два основных приема,
используемых для интегрирования функций,
содержащих квадратный трехчлен,
например, интегралов от простейших
дробей третьего типа:
.
А именно: выделение в числителе
производной знаменателя и выделение
полного квадрата в знаменателе. В
том случае, когда квадратный трехчлен
в знаменателе имеет действительные
корни, следует пользоваться тем, что
подынтегральная функция разлагается
на две простейшие дроби первого типа.
Интегрирование простейших иррациональностей
Интегралы вида
,
где подынтегральная функция рациональна
относительно переменной интегрирования
и
различных радикалов из
.
Обозначим через
наименьшее
общее кратное всех показателей
.
Тогда рассматриваемый интеграл сводится
к интегралу от рациональной функции
(рационализируется) введением новой
переменной
.
1.17).
.
Обозначим
.
Тогда
,
и
=
.
1.18).
.
Обозначим
.
Тогда
.
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
рационализируются универсальной
тригонометрической подстановкой:
.
При этом используются формулы,
выражающие синус и косинус через тангенс
половинного аргумента
.
Кроме того, при замене переменной в этом
интеграле учитываем, что
.
Рационализация с помощью универсальной
подстановки иногда приводит к громоздким
подынтегральным функциям. В некоторых
частных случаях эффективнее использовать
подстановки
или
.
1.19).
.
В этом примере использована универсальная
подстановка.
1.20).
.
Здесь удобно выполнить замену
.
И, так как
,
то
.
В интегралах вида
,
если
и
-
четные положительные числа, используются
формулы понижения степени:
.
Если же
или
- нечетное число, интеграл находят,
отделяя от нечетной степени один
множитель.
1.21).
=
.
Здесь
.
1.22).
.
Обозначив,
,
получим
.
Здесь
.
Интегралы вида
находятся с помощью тригонометрических
формул:
,
,
.
1.23).
.
Задания для самостоятельного решения
1.29.
.
1.36.
.
1.43.
.
1.30.
.
1.37.
.
1.44.
.
1.31.
.
1.38.
.
1.45.
.
1.32.
.
1.39.
.
1.46.
.
1.33.
. 1.40.
.
1.47.
1.34.
1.41.
.
1.48.
.
1.35.
.
1.42.
.
1.49.
.
Ответы.
1.29.
1.36.
.
1.43.
.
.
1.30.
.
1.37.
. 1.44.
.
1.31.
.
1.38.
.
1.45.
.
1.32.
.1.39.
.
1.46.
.
1.33.
.
1.40.
.
1.47.
1.34.
.
1.41.
.
1.48.
.
1.35.
.
1.42.
.
1.49.
.
Определенный интеграл.
Функция
определена
и ограничена на отрезке
.
Произвольно выбранными точками
разобьем этот отрезок на
элементарных отрезков
,
,
длина каждого из которых равна
.
В каждом из этих элементарных отрезков
произвольно выберем точку
,
.
Сумма вида
называется
-ой
интегральной суммой функции
на
отрезке
.
Если
на
,
то
- площадь ступенчатой фигуры. Обозначим
.
Конечный предел последовательности
интегральных сумм при
и
называется определенным интегралом
от функции
на отрезке
и
обозначается
.
Предел в этом определении не зависит
от способа разбиения отрезка
на элементарные отрезки и выбора в
каждом из них промежуточных точек
.
Здесь
- переменная интегрирования,
- подынтегральная функция,
-
подынтегральное выражение,
- отрезок интегрирования,
и
-нижний и верхний пределы интегрирования.
Если определенный интеграл существует,
то функцию
называют интегрируемой на отрезке
.
В частности, непрерывность подынтегральной
функции на отрезке
обеспечивает
ее интегрируемость на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного
интеграла. Если
на
,
то
- это площадь криволинейной трапеции –
плоской фигуры, ограниченной графиком
функции
,
осью
и двумя прямыми
.
Теорема. Если функция определена и непрерывна на всюду за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
1.
(
).
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6. Если,
,
то
.
7. Если
,
то
.
8.
.
9. Если
,
где
,
то
.
10. Если
непрерывна на
,
то существует точка
,
такая, что
.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть функция
интегрируема на
,
,
.
Тогда функция
называется интегралом с переменным
верхним пределом. Перечислим основные
его свойства.
1. Если
интегрируема
на
,
то функция
непрерывна
для любого
.
2. Если
непрерывна
в точке
,
то функция
имеет
производную в этой точке, и
.
Поэтому всякая непрерывная функция
имеет первообразную.
3. Если - какая-нибудь первообразная непрерывной на отрезке функции , то справедливо равенство
,
называемое формулой Ньютона – Лейбница.
1.24).
.
1.25).
.
1.26).
.
Замена переменной в определенном интеграле.
Допустим, что в процессе вычисления
определенного интеграла
производится замена переменной:
,
,
где функция
и
ее производная
непрерывны
на отрезке
,
причем
.
Замена переменной под знаком
определенного интеграла осуществляется
по формуле
.
1.27).
.
Поскольку
,
т.е.
,
эффективной будет подстановка:
.
Если
,
то
,
при
.
Учитывая, что
,
осуществим замену переменной в данном
определенном интеграле
=
=
.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
При необходимости интегрировать по
частям в определенном интеграле
соответствующая формула имеет вид
.
1.28).
.
Вычисление площади плоских фигур.
Используя геометрический смысл
определенного интеграла, вычисляется
площадь фигуры, ограниченной графиками
функций
,
и прямыми
,
по формуле
.
1.29). Найти площадь, ограниченную параболой
и прямой
.
Решение. Решая систему данных уравнений,
находим абсциссы двух точек пересечения
прямой
и параболы
:
.
По приведенной выше формуле
.
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл)
Пусть функция
непрерывна на промежутке
.
Интеграл по бесконечному промежутку
называется несобственным интегралом
первого рода. Для вычисления этого
интеграла используется формула
.
Интеграл
называется сходящимся, если в
вышеуказанной формуле существует
конечный предел
,
в противном случае этот интеграл
называется расходящимся.
Аналогично,
и
,
где
.
1.30). Исследовать на сходимость и, если
интеграл сходится, вычислить
.
По определению несобственного интеграла первого рода
.
Таким образом, данный интеграл расходится.
1.31). Вычислить интеграл
или установить его расходимость.
По определению
.
В случае
и при
,
т.е. существует конечный предел, значит,
интеграл сходится и
.
В случае
и при
,
.
Таким образом, в этом случае интеграл
расходится.
Задания для самостоятельного решения
1.50 – 1.63. Вычислить интегралы.
1.64. – 1.70. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
1.71. – 1.77. Вычислить интегралы или установить их расходимость.
1.50.
.
1.57.
.
1.64.
.
1.71.
.
1.51.
.
1.58.
.
1.65.
.
1.72.
.
1.52.
.
1.59.
.
1.66.
.
1.73.
.
1.53.
.
1.60.
.
1.67.
.
1.74.
.
1.54.
.
1.61.
.
1.68.
.
1.75.
.
1.55.
.
1.62.
.
1.69.
.
1.76.
.
1.56.
.
1.63.
.
1.70.
.
1.77.
.
Ответы.
1.50.
.
1.57.
.
1.64. 10,67. 1.71. Расходится.
1.51. 1. 1.58.
.
1.65. 0,42. 1.72. 1.
1.52.
.
1.59. 1,57. 1.66. 1,23.
1.73.
.
1.53. 2,01. 1.60. 0,57 . 1.67. 29,87. 1.74. Расходится.
1.54. 0, 33. 1.61. 1,57. 1.68.
0,50. 1.75.
.
1.55. 1, 50. 1.62. -0, 25. 1.69. 2, 67. 1.76. Расходится.
1.56. 0,50. 1.63. 0,21. 1.70.
0,75. 1.77.
.
Контрольная № 1. Интегрирование.
1.- 8. Вычислить неопределенные интегралы.
9. Вычислить определенный интеграл.
10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Вариант 1.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 2.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 3.
1.
.2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 4.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 5.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 6.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 7.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 8.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 9.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 10.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 11.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 12.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 13.
.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 14.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10
.
Вариант 15.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 16.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 17.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 18.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
,
Вариант 19.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 20.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 21.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 22.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 23.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 24.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.
10.
.
Вариант 25.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 26.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 27.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
.
Вариант 28.
1.
.
2.
.
3.
.4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 29.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.
Вариант 30.
1.
.
2.
.
3.
.4.
.5.
.
6.
.7.
.8.
.9.
.10.
2. Функции нескольких переменных
Если каждой точке
из
некоторого подмножества
пространства
по некоторому правилу или закону
поставлено в соответствие единственное
значение переменной
из
множества
,
то говорят, что задана функция нескольких
переменных (
переменных):
.
Подмножество
называется областью определения
этой функции, а
- множеством ее значений.
Например,
- функция двух переменных,
-
функция трех переменных. В этом разделе
будут рассмотрены некоторые из понятий
дифференциального исчисления функций
двух переменных:
.
Графиком функции двух переменных
называется
множество точек
трехмерного
пространства
,
таких, что
и
.
Таким образом, график представляет
собой поверхность - множество точек с
координатами
в пространстве
.
2.1). Найти область определения функции
.
Существование этой функции обеспечивает
условие
,
т.е.
.
Таким образом, областью определения
данной
функции является внутренность круга с
центром в начале координат и радиусом
1.
Для построения поверхности – графика
функции
используется метод сечений этой
поверхности плоскостями, параллельными
координатной плоскости
,
т.е. системой плоскостей
,
где произвольное число
.
Пересечение поверхности
с плоскостью
определяется
равенством
.
Линией уровня функции двух переменных
называется множество точек плоскости
,
удовлетворяющих равенству
.
Число
здесь называют уровнем. Итак, для точек,
принадлежащих одной линии уровня,
функция принимает одно и то же значение,
равное
.
2.2). Найти линии уровня функции
.
Построить ее график. Линии уровня данной
функции определяются уравнениями
,
где
.
Эти уравнения описывают множество
концентрических окружностей в плоскости
с общим центром в начале координат с
радиусами
.
График этой функции представляет собой
поверхность
,
называемую параболоидом.
Число
называется пределом функции
в точке
(
),
если для любого сколь угодно малого
положительного числа
(
)
найдется такое положительное число
(
),
что для всех точек
,
отстоящих от точки
на расстояние меньшее, чем
(такое множество точек называется
-окрестностью
точки
:
) , выполняется неравенство
.
Если предел существует, то он не зависит
от пути, по которому точка
стремится
к точке
.
2.3).
.
2.4).
.
Например, при
,
т.е., если точка
стремится
к точке
по
прямой
,
предел равен
.
Если же
,
т.е. точка
стремится к точке
по прямой
.
В этом случае предел оказывается равен
.
Итак, предел в этом примере не существует,
так как при стремлении точки
к
точке
по различным путям, он получается
различным.
Функция
называется
непрерывной в точке
,
если
функция
определена в точке и в некоторой ее окрестности,
существует конечный предел
при стремлении точки к точке произвольным образом,
.
Функция разрывна в точке
,
если нарушено хотя бы одно из условий
1., 2., 3.
Функция
непрерывная
в любой точке некоторой области
называется непрерывной в этой
области
.
2.5). Функция
определена во всех точках плоскости
,
но не в точке
,
поэтому разрывна в этой точке. В остальных
точках плоскости она непрерывна.
2.6). Функция
разрывна
в точке
,
так как не имеет предела в этой точке.
2.7). Функция
разрывна
в точке
,
поскольку
.
Теорема. Если функция
непрерывна в ограниченной замкнутой
области
,
то
она в этой области ограничена, т.е. существует число (
) такое, что для всех точек
выполняется неравенство
,
в области
имеются точки, в которых функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений.
Частные производные функции двух переменных. Полный дифференциал.
Рассмотрим функцию
.
Пусть
- область ее определения. Зафиксируем
точку
.
Придадим аргументам
и
приращения
и
соответственно. При этом
.
Тогда разности
и
называются частными приращениями
функции
по
переменным
и
соответственно, а разность
- ее полным приращением.
Частными производными функции
по переменным
и
называются следующие пределы разностных
отношений
.
Значение частной производной функции зависит от точки , в которой она вычисляется, т.е. сама по себе частная производная является функцией точки . Формулы и правила, используемые при вычислении производной функции одной переменной, справедливы также и для частных производных функции двух переменных. Главное в процессе вычисления частной производной функции по одной из ее переменных – помнить, что другая переменная при этом считается постоянной.
2.8). Вычислить частные производные
функции
.
,
.
Частные производные, как функции тех же переменных, тоже в свою очередь могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка.
,
,
,
,
Смешанные производные
и
равны между собой, если они являются
непрерывными функциями.
2.9). Вычислить частные производные второго порядка функции .
Пользуясь уже имеющимися в примере 36)
частными производными первого порядка,
получаем
,
,
,
.
Как видим,
.
Если функция
имеет в точке
непрерывные
частные производные, то ее полное
приращение может быт представлено в
виде
,
где
и
при
.
Главная линейная часть
полного приращения
функции
называется ее полным дифференциалом
,
с учетом того, что для независимых
переменных
и
.
2.10). Полный дифференциал функции
записываем, следуя формуле
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция
определена в некоторой области
.
Точка
,
- некоторое направление (вектор с началом
в точке М), задаваемое единичным вектором
(ортом)
,
где
и
- косинусы углов, образуемых вектором
с осями координат, называемые направляющими
косинусами. При перемещении из точки
в точку
по направлению
функция получает приращение
,
называемое приращением функции в данном
направлении
.
Пусть
- величина перемещения. Предел отношения
при
,
если он существует, называется производной
функции
по
направлению
и обозначается
,
или
.
Итак,
.
Производная
характеризует изменения функции в
направлении
.
При заданных направляющих косинусах
производная по направлению вычисляется
по формуле
.
Градиентом функции
в
точке
называется вектор
,
координаты которого равны соответствующим
частным производным
и
,
вычисленным в точке
.
Т.е.
,
или
.
Градиент, это вектор, указывающий
направление наибольшего роста функции.
2.11). Вычислить производную функции
в точке
по направлению
.
Найдем длину вектора
:
.
Тогда
.
Таким образом, единичный орт
вектора
имеет координаты
.
Используя частные производные
и
,
запишем производную по направлению
в произвольной точке
:
.
Итак, в точке
эта производная оказывается равной
.
2.12). Вычислить градиент функции
в точке
.
Градиент этой функции в произвольной
точке
выглядит так
.
В данной точке
.
Экстремум функции двух переменных.