![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных
- •§ 1. Определение производной. Ее механический и геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •§ 2. Дифференцируемые функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная сложной функции
- •§ 3. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •§ 4. Дифференциал функции, его вычисление
- •§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§ 7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных
§ 1. Определение производной. Ее механический и геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой
Рассмотрим сначала две задачи, приводящие к понятию производной.
1. Задача о вычислении скорости движущейся точки.
Пусть по прямой движется точка, уравнение
движения которой
выражает зависимость величины пути,
пройденной точкой, от времени. Требуется
определить скорость движения точки в
момент времени
.
расстояние, пройденное точкой за время
,ОМ– расстояние, пройденное за времяt,
–
расстояние, пройденное за время
,
то есть за промежуток времени
.
Ясно, что
.
Средняя скорость точки на участке пути
равна
.
Ясно, что при уменьшении
средняя скорость будет приближаться к
скорости точки в момент
,
поэтому скоростью точки в момент времени
называется предел отношения
при
:
.
Таким образом,
.
(1.1)
2. Задача о проведении касательной к кривой.
Пусть дана некоторая кривая L. Дадим сначала определение касательной к кривойLв точкеМ. Для этого возьмем на кривой точкуN и проведем секущуюMN. Затем,
у оставляя точкуМ неподвижной,
будем двигать
N точкуN
по кривой к точкеМ. СекущаяMN
при
этом будет поворачиваться вокруг точки М. Если
Lона при
стремится к некоторому
предельному
положениюМР, то это предельное
Рположение
секущей и называется касательной к
кривой в точке М.
М Определение 1.
ПрямаяМРназываетсякасательнойк кривойLв точкеМ,
если угол
Ох между нею и секущей стремится к нулю при
неограниченном приближении по кривой точки Nк точкеМ.
Найдем уравнение касательной к кривой
в точке
.
Ясно, что для
этого достаточно найти ее угловой
коэффициент
,
поскольку точкаМ, через которую
проходит касательная, дана. Уравнение,
как известно из аналитической геометрии,
имеет вид
.
(1.2)
к нулю. Таким образом,
.
(1.3)
Сравним формулы (1.1) и (1.3). Видим, что в
этих формулах мы делаем одно и то же:
вычисляем приращение функции,
соответствующее приращению аргумента
или
,
составляем их отношение и переходим к
пределу при
или
,
только функции в этих формулах имеют
разный смысл – величина пути и ордината
точки. Выделяя общее в рассмотренных
задачах, абстрагируясь от их конкретного
содержания, приходим к понятию производной.
Определение 2.Производнойфункциив точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке к вызвавшему его
приращению аргумента при условии, что
приращение аргумента стремится к нулю.
Обозначается производная
и т.д.
Таким образом,
.
Возвращаясь к задачам, видим, что
,
то есть скоростьVесть производная от пройденного путиS по времениt;
,
то есть угловой коэффициент касательной
к кривой
есть производная от ординаты
по абсциссех. Из этих фактов вытекает
механический и геометрический смысл
производной.
Механический смысл производной:
производная
– это скорость изменения переменной
относительно переменнойх.
Геометрический смысл производной:
производная
есть угловой коэффициент касательной
к кривой
в точке
,
то есть тангенс угла между
касательной и положительным направлением оси Ох.
Пример 1. Найдем производные функций,
,
.
Решение. Воспользуемся определение производной. Получим
,
так как
~
~
при
.
В частности,
;
=
,
так как
~
при
;
,
так как
~
при
;
,
так как
~
при
;
;
.
Из формулы (1.2) получаем уравнение
касательной к кривой
в точке
:
или
.
(1.4)
Определение 3. Прямая, проходящая
через точку касанияперпендикулярно к касательной, называетсянормалью к кривой в этой точке.
Из аналитической геометрии известно,
что ее угловой коэффициент
,
поэтому уравнение нормали имеет вид
.
(1.5)
Пример 2. Напишем уравнения касательной
и нормали к кривойв точке (1;е).
Решение. Поскольку,
по формулам (1.4) и (1.5) находим
– уравнение касательной к данной кривой
в данной точке,
– уравнение нормали к данной кривой в
данной точке.
Может оказаться так, что предел в
определении производной не существует.
В этом случае говорят, что функция
производной
в точке
не имеет. Однако может оказаться так,
что односторонние пределы существуют,
но не равны. В этом случае говорят об
односторонней производной функции в
точке
справа или слева. К односторонней
производной мы приходим и тогда, когда
точка
является концом промежутка. Обозначают
односторонние производные
и
.
В случае, когда производная функции не существует, но существуют односторонние производные, говорят также об односторонних касательных к кривой в соответствующей точке кривой. Если же производная бесконечна, то касательная к кривой в соответствующей точке параллельна оси Оу.
Определение 4. Операция отыскания производной называетсядифференцированием. Раздел математического анализа, главным предметом которого является вычисление производных, изучение и использование их свойств, называетсядифференциальным исчислением.