![](/user_photo/_userpic.png)
7. Тригонометрия
.doc
§7.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Соотношения
между тригонометрическими функциями
одного
и того же аргумента .
,
,
,
,
.
Формулы приведения
Формулы
приведения применяются по следующей
схеме:
1) если под знаком преобразуемой
тригонометрической функции содержится
сумма аргументов вида
то
наименование тригоно-метрической
функции следует сохранить;
2) если
под знаком преобразуемой тригонометрической
функции содержится сумма аргументов
вида
то
наименование тригоно-метрической
функции следует изменить:
,
;
3) перед полученной функцией от
аргумента
надо
поставить тот знак, которая имела
бы
преобразуемая функция при условии, что
.
Функции
суммы и разности двух углов
,
;
.
Функции
двойного аргумента
,
,
57
,
.
Формулы
понижения степени
,
.
Функции
половинного аргумента
,
.
Формулы
преобразования суммы функций в
произведение:
,
,
,
.
Формулы
преобразования произведения в сумму
,
,
.
58
Формула
дополнительного аргумента
,
где
.
Периодичность;
четность и нечетность
,
,
(нечетная);
,
,
(четная
;
,
,
(нечетная);
,
,
(нечетная).
Обратные
тригонометрические функции
,
где
,
если
и
:
,
где
,
если
и
;
,
где
,
если
и
;
,
где
,
если
и
.
Имеют место следующие соотношения
между обрат-ными тригонометрическими
функциями, справедливые в области
определения соответствующих
функций:
;
;
;
;
;
59
;
;
;
;
;
.
Решение
простейших тригонометрических
уравнений:
––
;
––
;
––
;
––
.
Пример
1. Вычислить
.
Решение.
Так как
то
.
Ответ:
0.
Пример 2.
Вычислить
.
Решение.
Воспользуемся формулой синуса двойного
аргу-мента и формулой приведения
:
60
.
Ответ:
0,125
Пример 3.
Вычислить
.
Решение.
Воспользуемся периодичностью функции
и
формулой
:
.
Поэтому
.
Ответ:
– 0,1.
Пример
4. Вычислить
.
Решение.
Применяя формулу приведения, получим
.
Ответ:
–0,75.
Пример
5. Вычислить
.
Решение.
Учитывая, что
и
61
,
получим
.
Применим формулу тангенса суммы:
.
Следовательно,
.
Ответ: 0,5.
Пример
6. Вычислить
,
если
.
Решение.
Так как
и
,
то
.
Ответ: 0,3.
Пример
7. Вычислить
при
.
Решение.
62
.
Ответ:
– 0,5.
Пример
8. Найти в
градусах корень уравнения
,
если
Решение.
Так как
,
то исходное урав-нение можно записать
в виде
,
или
.
Обозначив
,
получим:
.
Корни это-го уравнения:
.
Вернемся к переменной х:
1)
.
Это уравнение решений не имеет.
2)
.
Корень этого уравнения, лежащий в
интервале
,
равен
Ответ
:
.
Пример 9.
Найти сумму
корней уравнения
,
если
.
Решение.
Так как
,
то исходное уравнение равносильно уравнению
а)
;
,
т.е.
,
63
При
получаем решение
из
заданного интерва-ла
.
При остальных значениях
соответствующие значения
не принадлежат промежутку
.
б)
;
;
,
В интервале
лежит только одно решение
заданного уравнения.
.
Ответ :
.
Пример 10. Сколько
корней имеет уравнение
в промежутке
?
Решение.
Умножим обе части уравнения на
:
.
Отсюда
;
,
.
;
.
При других значениях
соответствующие
значения
не принадле-
жат заданному отрезку.
Ответ:
2.
Пример 11.
Сколько корней имеет уравнение
в промежутке
?
Решение.
Так как
,
то данное уравнение можно записать в
виде
.
(1)
64
Решим
уравнение
.
Обозначив
,
получим
.
Корни этого уравне-ния:
.
Вернемся к переменной
.
а)
.
Это уравнение решений не имеет.
б)
.
.
Рассмотрим
эти две серии значений
отдельно.
1)
(3)
.
Так как
и
,
то
– решение системы (2).
.
Это значение
не является ре-
шением системы (2),
так как
.
65
При
остальных значениях
соответствующие значения
из (3) не принадлежат заданному интервалу.
2)
.
(4)
.
Так
как
и
,
то
– решение системы (2).
.
Это значение
не является решением системы (2), так как
.
При
остальных значениях
соответствующие значения
из (4) не принадлежат заданному интервалу.
Итак, исходное уравнение в интервале
имеет два
решения:
.
Ответ:
.
Пример 12. Решить
неравенство
Решение.
Перепишем исходное неравенство в
следующем виде:
.
(5)
Так как
при всех
,
то неравенство (5) равно-сильно неравенству
,
т.е.
.
Прямая
пересекает числовую окружность в точках
66
и
.
Неравенству
соответствуют точки открытой дуги
.
Дуга
– это дуга с началом в точке
и кон-цом в точке
при движении по окружности против
часовой стрелки.
Точка
соответствует числу
,
а точка
– числу
.
Итак, решения неравенства
,
принадлежащие
промежутку
длиной
,
таковы:
.
Вследствие
периодичности косинуса остальные
решения получаются прибавлением к
найденным чисел
,
где
.
Приходим
к ответу:
,
.
Ответ: , .
67
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Упростить выражение:
а)
;
(Ответ:
2)
б)
;
(Ответ:
0,75)
в)
;
(Ответ:
1)
г)
.
(Ответ:
1)
2. Вычислить:
а)
;
(Ответ:
3)
б)
;
(Ответ:
1)
в)
;
(Ответ:
– 2)
г)
;
(Ответ:
4)
д)
;
(Ответ:
4,5)
е)
;
(Ответ:
– 0,2)
ж)
.
(Ответ:
0,48)
68
3. Найти значение выражения:
а)
,
если
;
(Ответ:
7)
б)
,
если
;
(Ответ:
)
в)
,
если
и
.
(Ответ:
)
4. Сколько корней имеет уравнение
при
?
(Ответ: 3)
5.
Сколько корней имеет уравнение
при
?
(Ответ:
1)
6.
Найти
в градусах корень уравнения
,
если
.
(Ответ:
180)
7.
Найти в градусах наименьший положительный
корень урав-
нения
.
(Ответ:
30)
8. Найти
в градусах корень уравнения
,
если