Задание 5

Решение

В отличие x₁(t) и от x₂(t), сигнал x₃(t) более плавный и разреженный, за счет влияния “временных” свойств сигнала. При этом гистограмма x₃(t) хотя и имеют вид гауссовой кривой как и x₂(t) , но она менее острая, имеет меньшее затухание экспоненты и меньшее значение в нулевой ординате.

Пояснение:

Динамический объект ”Сглаживание и усиление” можно описать дифференциальным уравнением 1-го порядка:

где x(t), y(t) - входной и выходной сигналы, Т₁ - постоянная времени, k-статический коэффициент усиления. Такое уравнение решается методом разделения переменных, причем результат описывает затухающий переходной процесс с постоянной времени Т₁:

В случае подачи на вход белого “гауссовского” шума стационарный участок выходной функции y(t) обладает экспоненциальной ковариационной функцией

Принимая во внимание, что = =1,

и используя для получения дисперсии равной 1 коэффициент усиления ,

получаем, что ковариационная функция динамического звена определяет степень внутренних взаимосвязей во временном процессе и зависит от T.

Применительно к уравнению свертки

весовая функция для апериодического звена

зависит исключительно от параметра T и временного сдвига .

Весовая функция обеспечивает сохранение неизменным лишь среднего значения сигнала, проходящего через динамический объект; сам сигнал, точнее его форма, и другие характеристики претерпевают определенные изменения. Значение выходного сигнала в каждый момент времени определяется взвешенными значениями прошлых величин входного сигнала, причем само взвешивание происходит как раз весовой функцией объекта, развернутой для этого назад.

Таким образом, на основании вышесказанного x₃(t) качественно отличается от x₁(t) и от x₂(t), так как его значения в каждый момент времени в большой степени зависят от прошлых величин входного сигнала, выходной сигнал от этого становится более сглаженным и разреженным. И более с более “нормальным” распределением.

Кроме того при подаче на вход нашего о динамического звена сигнала с (уже) нормальным законом распределения (белого гауссовского шума), то такое звено (апериодическое звено 1-го порядка) изменяет лишь параметры, но не вид закона распределения, который остается нормальным.

Задание 6

Решение

Делаем по 3 эксперимента с максимальным и минимальным значением параметра T.

Из проведенных экспериментов явно видно, что при увеличении параметра T сигнал становится более гладким и разреженным, а гистограммы становятся более “острыми” ( более “нормальными”). Причем на гистограмме выходного сигнала с увеличением T наблюдается увеличение координаты в нуле.

В нашем случае объект является апериодическим звеном первого порядка с постоянной времени T.

Такой динамический объект можно описать дифференциальным уравнением 1-го порядка:

где x(t), y(t) - входной и выходной сигналы, Т₁ - постоянная времени, k-статический коэффициент усиления. Такое уравнение решается методом разделения переменных, причем результат описывает затухающий переходной процесс с постоянной времени Т₁:

Переходя к дискретному виду путем замены

dy на Dy,

dt на Dt,

T= Т₁ /Dt,

Dy[n]=y[n] - y[n-1]

После соответствующих подстановок получаем рекуррентное соотношение алгоритма расчета для выходной реализации «окрашенного» сигнала:

.

Нетрудно заметить что первое слагаемое указывает на влияние взаимосвязи со значением выходного сигнала в другом временном срезе, а второе слагаемое - ответ на очередное возмущение на входе. Причем, при увеличении параметра Т влияние внутренних временных взаимосвязей увеличивается (в нашем эксперименте при Т=5, коэффициент перед y[n-1] равен 4/5, а при T=15 этот коэффициент уже существенно больше = 14/15). С другой стороны из этого же выражения видно, что при увеличении T в это же время уменьшается влияние входного сигнала, за счет уменьшения коэффициента перед x[n] ( 1/5, при Т=5 и 1/15 при T=15).

Если постоянная времени объекта велика (Т > 10), то подавляющий вклад при расчетах очередного отсчета дает компонента

Говорят, что Т хранит информацию о памяти (инерционности) объекта.

Эти зависимости явно проявляется в том, что при увеличении параметра Т, выходной сигнал становится разреженным и сглаженным.