5.10. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Рассмотрим игру, платежная матрица которой имеет размерность

Матрица не содержит седловой точки, поэтому решение игры представлено в смешанных стратегиях:

x = (x1,x2 , xm );

Y = (Y1,Y2 , Yn ).

При оптимальной стратегии игрока А выполняется условие:

m

∑aij × x j ≥ V; j =1, m, (5.14)

i=1

n

∑aij × yj ≥ V; j =1, m. (5.15)

j=1

Можно рассмотреть задачу оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место следующие ограничения:

Величина V (цена игры) неизвестна, но можно считать V > 0, имея в виду, что элементы ма трицы А неотрицательны. Этого всегда можно добиться, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число. Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенства на величину V. В результате получим

где ti = xi / V; i =1,m.

Из условия x1 + x2 + + xm =1 следует,

что t1 + t2 + + tm =1/ V.

102

5.11. Решение игры с применением процессора электронных таблиц

EXCEL

Процессор электронных таблиц EXCEL позволяет выполнять решение задач линейного и нелинейного программирования. Для решения таких задач в пункте основного меню анализ полученного решения позволяет сделать следующие выводы.

С помощью моделей матричных игр решается задача выбора из конкурирующих вариантов оптимального для каждого из игроков. Ситуация с множеством вариантов (альтернатив) достижения единого для всех сторон целевого эффекта наблюдается при выборе заказчиком (инвестором) и подрядчиком вариантов реализации инвестиционного проекта. Возникает задача отбора из конкурирующих методов одного, оптимального для двух сторон (игроков).

Рассмотрим пример выбора оптимального варианта реализации инвестиционного проекта. Примем за целевой эффект получение требуемой надежности реализации проекта.

Заказчик (игрок А) имеет 4 возможных метода получения целевого эффекта (4 чистых стратегии):

1) снижение стоимости реализации проекта;

2) повышение научно-технического уровня проекта;

3) приглашение к участию в проекте других инвесторов;

4) поэтапную реализацию проекта.

У подрядчика (игрок В) две чистые стратегии:

5) привлечение субподрядчиков к работе над проектом; 6) получение кредитов под модернизацию и расширение производства.

Предполагается идентичность методов и средств в том смысле, что реализация каждого из них обеспечивает достижение целевого эффекта - заданной надежности проекта. Однако получаемый при разных методах экономический эффект различен, что связано с неодинаковыми затратами на реализацию проекта.

Представим условия игры в виде матрицы игры (платежной матрицы), представленной в табл. 5.8.

Таблица 5.8

Платежная матрица

104

Для поиска оптимальной пары стратегий игроков необходимо применить максиминную стратегию для заказчика, гарантирующую для него выигрыш не меньше некоторого значения, называемого ценой игры:

Оптимальной для заказчика будет стратегия III - приглашение к участию в проекте других инвесторов.

Для подрядчика оптимальной будет минимаксная стратегия, для которой проигрыш будет не больше некоторого значения, называемого верхней ценой игры:

maxi minj aij = maxi (10;30)=10.

Оптимальной для подрядчика будет V-я стратегия.

Поскольку платежная матрица имеет седловую точку, игра решается в чистых стратегиях. В этом случае заказчик всегда должен применять свою III чистую стратегию, т.е. приглашать к участию в проекте других инвесторов. В свою очередь подрядчик должен всегда применять свою V-ю чистую стратегию, т.е. привлекать субподрядчиков к работе над проектом.

Не всегда решение игры можно найти в чистых стратегиях. Например, для тех же условий, что и принятые выше, платежная матрица имеет вид, представленный в табл. 5.9.

Таблица 5.9 Платежная матрица игры в смешанных стратегиях

Максиминная стратегия заказчика:

Отсюда 10<15 и, следовательно, решение игры не определяется в чистых стратегиях. Для решения игры в смешанных стратегиях необходимо определить вероятности, с которыми игроки А и В должны применять свои чистые стратегии. В этом случае возможно сведение игры к задаче линейного программирования. Для матрицы игры, представленной в виде

105

составим систему ограничений:

где xi - вероятности, с которыми заказчик применяет свои чистые стратегии;

V - цена игры.

После деления всех ограничений на V получим

где ti=xi/V; i=1,m.

Из условия x1 + x2 + ... + xm = 1 следует:

t1 + t2 + ... +tm = 1/V.

Поскольку решение должно максимизировать величину выигрыша V необходимо минимизировать функционал:

при ограничениях:

-20×t1 -10×t2+ 10×t3+15×t4 ≥ 1, 20×t1+30×t2+ 20×t3+8×t4 ≥ 1.

Cимплекс-матрица для решения задачи на ЭВМ имеет вид, представленный в табл. 5.10.

В результате решения задачи значение целевой функции: 0,077. Значение искомых переменных:

t1=0; t2=0; t3=0,028; t4=0,049.

Поскольку значение целевой функции F=1/V=0,077, цена игры

V=1/0,077=13.

x3=V×t3=0,028 ×13=0,36; x4=V× t4=0,049 ×13=0,64; x3+x4=0,36+0,64=1.

Таким образом, игрок А с вероятностью 0,36 применяет свою III-ю стратегию и с вероятностью 0,64 - IV-ю стратегию, рекомендующую повышение научно-технического уровня проекта. Стратегия I и II являются пассивными (вероятность их применения равна нулю).

Для определения оптимальных смешанных стратегий подрядчика сформулируем следующую задачу линейного программирования:

найти максимум целевой функции:

где U=yj /V; yj- вероятности, с которыми подрядчик применяет свои чистые стратегии; V - цена игры.

В нашем примере необходимо решить задачу линейного программирования:

U1 + U2 → max: -20 + 20 ≤ 1,

-10 + 30 ≤ 1, 10 + 20 ≤ 1, 15 + 8 ≤ 1.

Получим симплекс-матрицу, записанную в табл. 5.11.

107

В решении задачи получим значение целевой функции: 0,077 (так же, как и для двойственной задачи).

Значения искомых переменных:

U1=0,053, U2=0,0244.

Значение целевой функции W=1/V=13. Значения вероятностей: y1=V×U1=0,053×13=0,69; y2=V×U2=0,024×13=0,31;

y1+y2=0,69+0,31=1.

Подрядчик с вероятностью 0,69 применяет свою I-ю стратегию, т.е. привлекает субподрядчиков к работе над проектом; и с вероятностью 0,31 - II-ю стратегию, рекомендующую ему получение кредитов под модернизацию и расширение производства.

5.12. Определение победителя подрядных торгов с применением теории игр

Во многих задачах неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляются действия. Эти действия зависят от объективной действительности, которую принято называть природой. Человек (А) в играх с природой старается действовать, осмотрительно используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.

Второй игрок В (природа) действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как ее состояния (например, условия погоды или спрос на продукцию и т.д.).

В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других оно известно. Условия игры задаются в виде матрицы

Элемент аij равен выигрышу игрока А, если он использует стратегию Аi, а состояние природы - Рj.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша. Если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют следующие критерии.

108

1. Максимальный критерий Вальда, при котором выбирается страте-

гия, гарантирующая выигрыш не меньше

max min aij .

i j

2. Критерий минимального риска Севиджа, рекомендующий выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации:

min max Zij ,

i j

где Zij = bj - aij; bj = max aij .

i

Реализацию методов теории игр рассмотрим на следующем примере. Возможно участие в строительстве 4-х предприятий, участвующих в торгах - А1, А2, А3, А4. Эффективность предложений (оферт) каждого из предприятий зависит от различных факторов: стоимости строительства, сроков выполнения работ, качества строительства и т.д.

Предположим, что выделено 4 состояния, каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность реализации инвестиционного проекта (темпы инфляции, климатические условия).

Состояния природы обозначим через Р1, Р2, Р3, Р4.

Экономическая эффективность проекта в зависимости от состояний природы задана матрицей

Согласно критерию Вальда

max min aij = max(2,2,3,1) = 3.

i j

По критерию Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков:

где rij = max aij − aij; j =1, n .

i

Согласно критерию Сэвиджа определяем

Согласно этому критерию также предполагается объявить победителем 3-е предприятие.

Для заданного распределения вероятностей природы:

0,25; 0,25; 0,25; 0,25;

получим: max aij × Pj = (4,75; 5,25; 6,25; 3,75) = 6,25.

Оптимальной также является 3-я стратегия, т.е. заключение контракта на реализацию проекта с 3-им предприятием.

Вопросы и задания

1.Дайте определение матричной игры. Какие виды матричных игр вы

знаете?

2.Приведите примеры игр в чистых и смешанных стратегиях.

3.Определите седловую точку для игры, заданной платежной матри-

цей

4. Найдите решение матричной игры по критерию Вальда. Матрица выигрыша задана

6. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Висследовании операций широко применяются как аналитические, так

истатистические модели. Каждый из этих типов имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений. Зато результаты расчета по ним отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. А главное – аналитические модели больше приспособлены для поиска оптимальных решений [5, 6].

Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории – неограниченно большое) число факторов. Но и у них свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное – крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходятся искать путем догадок и проб.

110

Наилучшие работы в области исследования операций основаны на совместном применении аналитических и статистических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контур основных закономерностей. Любые уточнения могут быть получены с помощью статистических моделей.

Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки принимать те или другие решения подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время.

Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные.

В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так, существуют различные трактовки:

1)под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле;

2)этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия;

3)предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием, но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная, не вводится.

6.1. Метод Монте-Карло

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method» [21]. Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В

СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955— 1956 гг.

Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти

111

сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа.

Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами.

Идея метода чрезвычайно проста, и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. Если таких реализаций получено много, это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики.

После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас».

Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, где участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, а процесс явно немарковский, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания.

Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного попадания равную 1 — (1/2)3 = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем», статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем бросать «три монеты», считая, скажем, орел—за «попадание», решку — за «промах». Опыт считается «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет орел. Произведем очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности.

112

Метод Монте-Карло - это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Первая особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма.

Вторая особенность метода - погрешность вычислений, как правило, пропорциональна D/N2, где D - некоторая постоянная, N - число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.

Ясно, что добиться высокой точности таким путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%).

Вопросы и задания

1.Приведите примеры задач, которые могут быть решены методами имитационного моделирования.

2.Чем отличается метод Монте-Карло от аналитического описания процесса?

3.Как определяется математическое ожидание случайной величины?

4.Что такое дисперсия случайной величины?

7. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания [1, 6].

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслу-

113

живание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

•посты технического обслуживания автомобилей;

•посты ремонта автомобилей;

•персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;

•станции технического обслуживания автомобилей;

•аудиторские фирмы;

•отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;

•телефонные станции и т. д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

•входной поток поступающих требований или заявок на обслужи-

вание;

•дисциплина очереди;

•механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди — это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

•первым пришел — первый обслуживаешься;

•пришел последним — обслуживаешься первым;

•случайный отбор заявок;

•отбор заявок по критерию приоритетности;

•ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой про-

цедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры

114

обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно кон-

статировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

•вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);

•вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;

•конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);

•количеством и производительностью обслуживающих каналов;

•дисциплиной очереди;

•мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

•вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

•вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

•относительная и абсолютная пропускная способность системы;

•средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

•среднее время ожидания в очереди;

•средняя длина очереди;

115

• средний доход от функционирования системы в единицу времени.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими.

Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему.

В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

•системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;

•системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

•длина очереди;

•время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживания неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:

•одноканальные системы;

•многоканальные системы.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешан-

116

ных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

7.1. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным по-

током и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

где λ - интенсивность поступления заявок в систему. Плотность распределения длительностей обслуживания:

где μ - интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис.7.1), у которого имеются два состояния:

S0 - канал свободен (ожидание);

S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).

λ

μ

Рис. 7.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний:

P0(t) - вероятность состояния «канал свободен»; P1(t) - вероятность состояния «канал занят».

При этом выполняется условие P0(t) + P1(t) = 1. Следовательно,

P1(t)=1-P0(t).

Для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, P0 - вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t)=q.

117

По истечении большого интервала времени (при t → ∞) достигается стационарный (установившийся) режим:

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность А - среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию: S0 - «канал свободен»;

S1 - «канал занят» (очереди нет);

S2 - «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

118

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию: S0 - все каналы свободны;

S1 - занят один канал, остальные свободны;

Sk - заняты ровно k каналов, остальные свободны;

Sn - заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.

Формулы для вычисления вероятностей Pk называются формулами Эр-

ланга. Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

• вероятность отказа:

то есть заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина Pотк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

•вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же

—относительная пропускная способность системы q) дополняет Pотк до единицы:

• абсолютная пропускная способность:

• среднее число каналов, занятых обслуживанием (k ), следующее:

Величина k характеризует степень загрузки СМО.

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями λ и μ соответственно; параллельно обслуживаться могут не более С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна - 1/μ.

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

•вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам (7.21);

•среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

121

ставка процента равна R. Тогда 1 рубль может быть инвестирован, чтобы принести 1+R рублей ровно через год или (1+R) через два года.

Таким образом, 1 рубль через год стоит 1 р./(1+R) сегодня. Это то количество денег, которое дает 1 р. через год, если он приносит прибыль по учетной ставке R. При заданной норме дисконта R можно определить текущую стоимость всех оттоков и притоков денежных средств в течение экономической жизни проекта, а также сопоставить их друг с другом. Результатом такого сопоставления будет положительная или отрицательная величина, которая показывает, удовлетворяет ли проект принятой норме дисконта.

Чистая текущая стоимость проекта (NPV) определяется по формуле

NPV = -I + PV, (8.1)

где I - сумма первоначальных инвестиций; PV - текущая стоимость денежного потока на протяжении экономической жизни проекта.

Тогда чистая текущая стоимость проекта равна

где n - срок экономической жизни проекта, лет; Pi - денежный поток в i-ом году.

Если величина NPV положительна, то это означает, что в течение своей экономической жизни проект возместит первоначальные затраты I и обеспечит получение запланированной прибыли согласно заданной норме дисконта (процентной ставке) R, а также создаст некоторый резерв, равный NPV. Отрицательная величина NPV показывает, что заданная норма прибыли не обеспечивается и реализация проекта может принести убытки в размере NPV. При NPV = 0 проект только окупает произведенные затраты, но не приносит прибыли.

Расчет NPV с применением электронных таблиц выполним при следующих исходных данных.

Фирма планирует инвестировать средства в приобретение нового оборудования, стоимость которого вместе с доставкой, монтажом и пуском в эксплуатацию составит 1000000 денежных единиц. Предполагается, что эксплуатация оборудования в течение 5 лет будет обеспечивать получение прибыли в размере 250000, 320000, 400000 и 460000 денежных единиц.

Принятая норма дисконта равна 10 %. Необходимо определить экономическую эффективность проекта.

Чистая текущая стоимость (NPV) проекта равна

NPV = -1000000 + 250000/(1+0,1) + 300000/(1+0,1) 2 + 320000/(1+0,1) 3 +

400000/(1+0,1) 4 + 460000/(1+0,1) 5 = 274457.

Таким образом, при условии правильной оценки денежных потоков проект обеспечивает возмещение произведенных затрат, а также дополнительной прибыли в размере 274457 денежных единиц.

123

При анализе проектов с различными исходными условиями наряду с расчетами абсолютных показателей могут применяться и относительные. Это связано с тем, что абсолютные показатели различных вариантов реализации проекта совпадают.

Рассмотрим условия реализации проекта по двум вариантам, представленные в табл. 8.1.

Таблица 8.1 Показатели реализации инвестиционных проектов

Чистая текущая стоимость обоих проектов составляет 1000 денежных единиц и не позволяет сделать однозначного выбора. Поэтому наряду с абсолютным показателем эффективности инвестиций используются и относительные показатели такие, как индекс рентабельности и внутренняя норма доходности.

Индекс рентабельности PI показывает, сколько денежных единиц текущей стоимости будущего денежного потока приходится на одну денежную единицу инвестиций. Расчет индекса рентабельности выполняется по формуле

Если величина PI > 1, то текущая стоимость денежного потока превышает первоначальные инвестиции. При этом норма рентабельности превышает заданную, обеспечивая положительное значение NPV, проект может быть принят к реализации.

Если PI < 1, проект не обеспечивает заданного уровня рентабельности, значение NPV для него отрицательное, следовательно, его следует отклонить.

Если PI = 1, величина NPV = 0 и, следовательно, инвестиции не приносят прибыли.

Внутренняя норма доходности проекта IRR является наиболее широко используемым показателем эффективности инвестиций. Под внутренней нормой доходности понимают такую процентную ставку, при которой чистая текущая стоимость NPV проекта равна нулю.

Полученная величина IRR сравнивается с заданной нормой дисконта R. Если IRR > R, то проект обеспечивает положительную величину NPV и доход (в процентах), равный IRR - R. Если IRR < R, величина IRR отрицательна, следовательно, затраты превышают доходы, а проект следует признать убыточным.

124

Внутренняя норма доходности определяется путем решения уравне-

ния

Применение показателя PI целесообразно при выборе из большого числа проектов наиболее эффективных. Рассмотрим его использование на следующем примере. Фирма оценивает возможность участия в финансировании шести инвестиционных проектов, располагая для этого средствами в размере 350000 денежных единиц.

Все проекты имеют положительное значение NPV, и при отсутствии ограничений на размер инвестиций все могли бы быть рекомендованы к реализации. Однако при ограниченных инвестиционных ресурсах необходимо рассчитать величину индекса рентабельности PI и отобрать проекты с его максимальными значениями. Результаты расчетов по шести проектам приведены в табл. 8.2.

В табл. 8.3 расположим проекты в порядке убывания индекса рентабельности.

Таблица 8.3 Классификация проектов по индексам рентабельности

125

Оптимальным в данных условиях будет портфель инвестиций, состоящий из проектов 5,1,3,2. Включение проекта 4 не позволяет реализовать условие:

n

∑I j ≤ In, (8.5)

j=1

где In - размер средств на финансирование инвестиционных проектов.

8.2. Применение процессоров электронных таблиц для оценки эффективности инвестиций

Данные представляются в виде табл. 8.4.

PV вычисляем по функции ПС в меню «Вставка»-«Функции»- «Финансовые».

Функция ПС вычисляет чистый текущий объем вклада, используя учетную ставку, а также объемы будущих платежей (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения).

Синтаксис:

ПС (ставка;значение1;значение2; ...) Ставка - это учетная ставка за один период.

Значение 1, значение 2, ... - это от 1 до 29 аргументов, представляющих расходы и доходы.

•Значение 1, значение 2, ... должны быть равномерно распределены во времени, выплаты должны осуществляться в конце каждого периода.

•ПС использует порядок аргументов значение 1, значение 2, ... для определения порядка поступлений и платежей. Убедитесь в том, что Ваши платежи и поступления введены в правильном порядке.

•Аргументы, которые являются числами, пустыми ячейками, логическими значениями или текстовыми представлениями чисел учитываются; аргументы, которые являются значениями ошибки или текстами, которые не могут быть преобразованы в числа, игнорируются.

126

• Если аргумент является массивом или ссылкой, то учитываются только числа. Пустые ячейки, логические значения, тексты или значения ошибок в массиве или ссылке игнорируются.

IRR вычисляем по функции «Финансовые» «ЧИСТВНДОХ» (возвращает внутреннюю скорость оборота для ряда последовательных операций с наличными, представленными числовыми значениями).

Объемы операций не обязаны быть одинаковыми, как в случае ренты. Однако они должны происходить через равные промежутки времени, например ежемесячно или ежегодно. Внутренняя скорость оборота - это процентная ставка дохода, полученного от инвестиции, состоящая из выплат (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения), которые происходят в регулярные периоды времени.

Синтаксис: ЧИСТВНДОХ (значения; прогноз). Значения - это массив или ссылка на ячейки, содержащие числовые величины, для которых вычисляется внутренняя скорость оборота средств (ячейки прибыли и затрат).

•Значения должны включать, по крайней мере, одно положительное значение и одно отрицательное значение, для того чтобы можно было вычислить внутреннюю скорость оборота.

•ЧИСТВНДОХ использует порядок значений для интерпретации порядка денежных выплат или поступлений. Убедитесь, что Вы ввели значения выплат и поступлений в правильном порядке.

•Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются.

Прогноз - это величина, о которой предполагается, что она близка к результату ЧИСТВНДОХ.

•Microsoft Excel использует метод итераций для вычисления ВНДОХ. Начиная со значения прогноз, функция ЧИСТВНДОХ выполняет циклические вычисления, пока не получит результат с точностью 0,00001 процента. Если функция ЧИСТВНДОХ не может получить результат после 20 попыток, то возвращается значение ошибки #ЧИСЛО!

•В большинстве случаев нет необходимости задавать прогноз для вычислений с помощью функции ВНДОХ. Если прогноз опущен, то он полагается равным 0,1 (10 процентов).

•Если ЧИСТВНДОХ выдает значение ошибки #ЧИСЛО! или если результат далек от ожидаемого, можно попытаться выполнить вычисления еще раз с другим значением аргумента.

Пример расчета представлен в табл.8.5.

127

Таблица 8.5 Результаты расчета эффективности инвестиционных проектов

8.3. Оптимальное планирование портфеля инвестиций

Оптимальное планирование портфеля инвестиций можно выполнить с применением методов линейного программирования. Для этого необходимо сформировать экономико-математическую модель.

Целевая функция: чистая текущая стоимость проектов, включаемых в инвестиционный портфель, должна быть максимальной.

n

F = ∑NPVj ×X j → max, (8.6)

j=1

где Xj- целочисленная переменная, принимающая 2 значения: 0, если j пр о- ект не включается в план инвестиций; 1, если j проект включается в план инвестиций.

Ограничения на целевую функцию

1. Каждая переменная Xj может принимать только дискретные значения (0 или 1),что предполагает или полное финансирование проекта, или отказ от его включения в план:

2. Стоимость инвестиционного портфеля не должна превышать величины выделенных средств:

n

∑I j ×X j ≤ In, (8.8)

j=1

где Ij - величина инвестиций по j проекту;

In- наличие средств на инвестиционные цели.

Сформулированная задача может быть решена с применением методов целочисленного программирования.

128

8.4. Учет факторов риска при оценке инвестиций

Риск, связанный с объектом инвестиций, может быть вызван различными причинами, главными из которых являются:

-деловой;

-финансовый;

-риск, связанный с покупательной способностью;

-процентный;

-риск ликвидности;

-рыночный;

-случайный.

Совокупный риск содержит два компонента: диверсифицируемый и недиверсифицируемый риск. Диверсифицируемым (несистематическим) риском называют ту часть инвестиционного риска, которая может быть устранена в результате диверсификации.

Под диверсификацией понимается подбор комбинаций инвестиционных инструментов, обеспечивающий взаимозависимость динамики ставок доходности инвестиций.

Диверсифицируемый риск происходит от неконтролируемых или случайный событий (забастовки, судебные процессы), по-разному влияющих на различные инвестиции. Недиверсифицируемый (систематический) риск связан с такими явлениями глобального характера, как инфляция, политические события, война, которые одинаково затрагивают все инвестиции и не являются уникальными для конкретного проекта.

Поскольку инвестор может устранить только диверсифицируемые риски, считается, что для инвестиций в ценные бумаги диверсифицируемый риск может быть почти полностью устранен подбором 8-15 видов ценных бумаг. Каждому виду инвестиций присущ свой уровень диверсифицируемого риска, который может быть измерен с помощью фактора «бета».

Фактор «бета» показывает, как реагирует курс ценной бумаги на рыночные силы: чем более отзывчив курс ценной бумаги на изменения рынка, тем выше фактор «бета» для этой ценной бумаги.

Фактор «бета» для всего фондового рынка равен единице, значение фактора «бета» для конкретных компаний обычно находится в диапазоне от 0,5 до 1,75. Так, для акций сβ = 1 ,5 можно говорить, что при предполагаемом 10-процентном росте доходности в целом, на эти акции ожидается рост доходности в размере 15%.

Уменьшение рыночной доходности в среднем для рынка на 10% для акций с β = 1,5, составит 15 %. Фактор «бета» как измеритель недиверсифицируемого риска используется в модели оценки доходности активов (САРМ) по формуле (8.9):

129