2.13 Зависимость двух случайных величин. Коэффициент корреляции

Характеристикой зависимости между случайными вели­чинами  и  служит математическое ожидание произведения отклонений  и  от их центров распределений (матема­тических ожиданий случайнйх величин), которое называется коэффициентом ковариации или просто ковариацией.

cov(; ) = M((–M)(–M)).

Пусть  = x₁, x₂, x₃,, x_n,  = y₁, y₂, y₃,,y_n. Тогда

cov(;)= (4)

Эту формулу можно интерпретировать так. Если при больших значениях  более вероятны большие значения , а при малых значениях  более вероятны малые значения , то в правой части формулы (4) положительные слагаемые доми­нируют, и ковариация принимает положительные значения.

Если же более вероятны произведения (x_i – M)(y_j – M), состоящие из сомножителей разного знака, то есть исходы случайного эксперимента, приводящие к большим значениям  в основном приводят к малым значениям  и наоборот, то ковариация принимает большие по модулю отрицательные значения.

В первом случае принято говорить о прямой связи: с рос­том  случайная величина  имеет тенденцию к возрастанию.

Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом  случайная величина  имеет тенденцию к уменьшению или падению.

Ковариацию удобно представлять в виде

cov(; )=M()–MM.

Ковариация двух случайных величин равна математиче­скому ожиданию их произведения минус произведение мате­матических ожиданий.

Для независимых случайных величин  и  cov(;)=0.

Этому свойству можно придать более практическую формулировку если cov(;)0, то случайные величины  и  зависимы.

Итак, ненулевая ковариация свидетельствует о зависимо­сти случайных величин.

Обратное утверждение не верно. Можно привести при­меры как независимых, так и зависимых случайных величин, ковариация между которыми равна нулю.

Величина cov(;) зависит от единиц измерения, в которых выражаются  и . Поэтому cov(;) неудобно принимать за показатель связи. Чтобы иметь дело с безразмерным показателем, ковариацию делят на произведение среднеквадратических отклонений (СКО)  и 

Полученное число _ называется коэффициентом корреляции случайных величин  и .

Для независимых  и  _=0 (так как в этом случае cov(;)=0).

Обратного заключения сделать нельзя. Случайные величины могут быть связаны даже функциональной зависимостью, но коэффициент их корреляции будет равен нулю.

Свойства коэффициента корреляции

1. –1_1;

2. Если _=1, то =k+b, где k и b – константы, k>0.

3. Если _=–1, то =k+b, где k<0.

4. Если =k+b, (k0) или =k₁+b₁, то _=1 при k>0 или _=–1 при k<0.

Коэффициент корреляции _ достигает своих предельных значений –1 и 1 в том и только в том случае, если совместное распределение  и  все концентрируется на некоторой прямой в плоскости ; . Если _<1, то линейной зависимости между  и  нет. Все же по мере приближения _ к единице величину _ можно считать мерой близости к полной линейной зависимости между  и .

Как правило, говоря о корреляционной зависимости, име­ют в виду линейную корреляционную зависимость. Если имеется в виду нелинейная корреляционная зависимость, то это особо оговаривают

Можно говорить о совместном распределении двух непрерывных случайных величин.

В большинстве случаев возможен переход от непрерывных случайных величин к совместному распределению двух дискретных случайных величин следующим образом.

Нужно разбить отрезок a; b изменения случайной величи­ны  на равные отрезки c₀=a; c₁; c₁; c₂; c₂; c₃,  , c_n–1; c_n=b. За значение случайной величины  принять середину каждого отрезка.

Так же надо поступить со случайной величиной , разбив ее область значений e; f на равные отрезки g₀=e; g₁; g₁; g₂, … , g_k–1; g_k=f, и приняв за возможные значения  середины отрезков g_k–1; g_k.

Таким образом мы получили дискретные случайные величины *=x₁; x₂; …x_n и *=y₁; y₂; …y_k, причем каждой паре (x_i; y_j) ставится в соответствие вероятность

P_i^j = P(([c_i–1; c_i])∩([g_j–1; g_j])).