2.2. Вейвлет анализ временного ряда

Вейвлет-преобразование одномерного сигнала состо­ит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени).

Таким образом, в отличие от традиционно применяе­мого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые перемен­ные. В результате появляется возможность анализиро­вать свойства сигнала одновременно в физическом (время, координата) и в частотном пространствах. Сказанное легко обобщается на неодномерные сигналы или функции.

В зарубежной литературе уже принято спектр Фурье называть single spectrum в отличие от спектра, получен­ного на основе коэффициентов вейвлет-преобразования, — time-scale spectrum, или wavelet spectrum.

Область использования вейвлетов не ограничивается анализом свойств сигналов и полей различной природы, полученных численно, в эксперименте или при наблюде­ниях. Вейвлеты начинают применяться и для прямого численного моделирования — как иерархический базис, хорошо приспособленный для описания динамики слож­ных нелинейных процессов, характеризующихся взаимо­действием возмущений в широких диапазонах простран­ственных и временных частот [1,2,29].

Различают дискретный и непрерывный вейвлет анализ, аппарат которых можно применять как для непрерывных, так и для дискретных сигналов. Функция-прототип называется анализирующим (материнским) вейвлетом [22].

Среднее значение (интеграл по всей прямой) Вейвлет – функции ψ должен быть равен 0, при этом, функция должна быстро убывать при t® ∞.

В общем случае вейвлет преобразование функции f(t) выглядит так:

, (1`)

где t –время, x – момент времени, масштабный коэффициент, s – параметр сдвига, a (*) – означает комплексное сопряжение [1].

Поскольку вейвлет-преобразование есть скалярное произведение анализирующего вейвлета на заданном мас­штабе и анализируемого сигнала, коэффициенты W(x, s) содержат комбинированную информацию об анализирующем вейвлете и анализируемом сигнале (как и коэффициенты преобразования Фурье, которые содер­жат информацию о сигнале и о синусоидальной волне).

Выбор анализирующего вейвлета, как правило, опре­деляется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особен­ности во временном и в частотном пространстве, поэтому иногда с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала.

Если привести аналогию с математическим "микроскопом", то параметр сдвига s фиксирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент x — увеличение и, наконец, выбором базисного вейвлета ψ определяются оптические качества микроскопа.

Вещественные базисы часто конструируются на основе производных функции Гаусса:

Более высокие производ­ные имеют больше нулевых моментов и позволяют извлечь информацию об особенностях более высокого порядка, содержащихся в сигнале.

На рис. 1.6 а, б показаны вейвлеты, полученные при m=1 и m=2 соответственно. Из-за их формы первый называют обычно WAVE-вейвлет, второй — МНАТ-вейвлет, или "Мексиканская шляпа" (Mexican hat — похож на сомбреро).

МНАТ-вейвлет, имеющий узкий энергетический спектр и два равных нулю момента (нулевой и первый), хорошо приспособлен для анализа сложных сигналов. Обобщенный на двумерный случай МНАТ-вейвлет часто используется для анализа изотропных полей. Если же производная берется лишь в одном направлении, полу­чается неизотропный базис с хорошей угловой избира­тельностью [27]. Для построения такого базиса к мас­штабным преобразованиям и сдвигам базисного вейвлета необходимо добавить его вращение. При этом математический микроскоп (вейвлет-преобразование) приобретает еще и качества поляризатора с углом поляризации, пропорциональным углу поворота вейвлета.

На основе функции Гаусса строится также хорошо известный DOG-вейвлет (Difference of Gaussians):

Примеры комплексных вейвлетов приведены на рис. 1.6 в, г (показаны их действительные составляющие). Наиболее часто используемый комплексный базис строится на основе хорошо локализованного в k- и r- пространстве вейвлета Морле (Morlet):

Это плоская волна, модулированная гауссианом единичной ширины. На рис. 1.6 в вейвлет Морле показан для k₀ = 6. С увеличением k₀ возрастает угловая избиратель­ность базиса, но ухудшается пространственная.

Часто применяемый в квантовой механике вейвлет Пауля (Paul) показан на рис. 1.6 г для m=4 (чем больше m, тем больше нулевых моментов имеет вейвлет). Аналитически он выглядит следующим образом:

_.

Представленные комплексные вейвлеты являются прогрессивными. Так называются вейвлеты, имеющие нулевые коэффициенты Фурье при отрицательных значе­ниях волновых чисел. Они хорошо приспособлены для анализа сигналов, для которых важен принцип причин­ности: эти вейвлеты сохраняют направление времени и не создают паразитной интерференции между прошлым и будущим.

Отметим, что при анализе комплексного одномер­ного сигнала или при использовании комплексного анализирующего вейвлета в результате вейвлет-преобразования получаются двумерные массивы значений модуля коэффициентов и фазы:

На рис. 1.6 д, е приведены примеры вейвлетов. которые часто служат основой для построения ортого­нальных дискретных базисов с помощью процедуры Малла (Mallat): LMB-вейвлет, предложен­ный Лемарье, Мейером и Бэтлом (Lemarie, Meyer, Battle) и один из вейвлетов Добечи. Это биортогональные вейвлеты, имеющие пару (двойника), необходи­мую для получения реконструкционной формулы.

Рис. 2. а)–в). Примеры часто используемых вейвлетов: (a) WAVE, (б) МНАТ, (в) Morlet

Рис. 2. г)–е). Примеры часто используемых вейвлетов: (г) Paul, (д) LMB, (e) Daubechies. Показаны вейвлеты в зависимости от времени (левая колонка) и их образы Фурье (правая колонка) [1, 23]

Для каждой пары x и s алгоритм вычисления вейвлет преобразования следующий:

1. Функция вейвлет растягивается в s раз по горизонтали и в 1/s раз по вертикали.

2. Далее он сдвигается в точку x. Полученный вейвлет обозначается ψ(x,s).

3. Производится усреднение в окрестности точки s при помощи ψ(x,s).

В результате вырисовывается вполне наглядная картина, иллюстрирующая частотно-временные характеристики сигнала. По оси абсцисс откладывается время, по оси ординат – частота (иногда размерность оси ординат выбирается так: log(1/s), где 1/s-частота), а абсолютное значение вейвлет преобразования для конкретной пары x и s определяет цвет, которым данный результат будет отображен (чем в большей степени та или иная частота присутствует в сигнале в конкретный момент времени, тем темнее либо ярче будет оттенок) [28].

Существует два разных пути проведения вейвлет преобразования - во временной и частотной областях. При работе во временной области мы имеем дело с функциями, аргументами которых являются временные параметры, а в случае частотной – частотные. В частотной области используется механизм быстрого преобразования Фурье [22].

Частотная область дает возможность использовать готовые программные продукты для вычисления быстрого преобразования Фурье. В случае отсутствия таковых частотный метод существенно усложняется. Алгоритм, реализованный в частотной области, работает быстрее. К достоинствам алгоритма во временной области можно отнести относительную простоту в реализации (программировании).