- •Часть 2
- •( Кафедра «высшей математики и физико-математического моделирования») методические указания
- •Часть 2
- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Определенный интеграл и его приложения
- •3. Несобственные интегралы
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •1. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •6. Дифференцирование сложной функции
- •7. Производная по направлению. Градиент функции и его свойство
- •8. Производные и дифференциалы высших порядков
- •9. Дифференцирование неявных функций.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •12. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •13. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •14. Дифференциальные уравнения
- •15. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •16. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Федотенко Галина Федоровна в авторской редакции
8. Производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.
Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
; ,
; .
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и выше третьего порядков; например: ; и т.п.
Символ обозначает частную производную третьего порядка функции , вычисленную три раза по х; символ обозначает, что от функции z взята частная производная третьего порядка, причём она вычисляется два раза по х и от полученной производной вычислена один раз производная по у. Имеет место такая важная теорема: если частные производные непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования. Таким образом, так называемые смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования , равны между собой, если они непрерывные функции, например: .
Пример. Найти частные производные второго порядка от следующих функций: z=ln(x2+y2);
Решение. Находим сначала частные производные первого порядка. Затем их дифференцируем вторично:
Находим ; ; далее
находим ;
;
Дифференциалы высших порядков.
Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от её полного дифференциала (первого порядка), т.е. .
Аналогично определяются дифференциалы функции z порядка выше второго , например: , т.е. дифференциалом третьего порядка от функции z есть дифференциал от её дифференциала второго порядка. Вообще, , . Если , где аргументы х и у –независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:
.
Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива символическая формула для дифференциала порядка n: , которая формально раскрывается по биноминальному закону. Если , где аргументы и являются функциями одного или нескольких независимых переменных, то
Если х и у – независимые переменные, то и - величины постоянные, поэтому , . Заметим, что следующая запись означает , выражение следует понимать, как выражение и т.д.
Пример. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .
Решение. Имеем ; поэтому . Далее находим ; ; . Имеем: .
9. Дифференцирование неявных функций.
Случай одной независимой переменной.
Пусть -неявная функция , т.е. она определяется из уравнения , не разрешённого относительно . Это значит, что при каждом значении , при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение так, что . Если -дифференцируемая функция переменных и , то производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , может быть найдена по формуле , при условии, что
Пример . Найти , если функция задана неявно уравнением , где -величина постоянная.
Решение. Обозначим левую часть данного уравнения . Найдём её частные производные
, .
Применим формулу .
Случай нескольких независимых переменных.
Если функция z от двух независимых переменных x и y задана уравнением , не разрешённым относительно z, то говорят, что z(x,y) есть неявная функция переменных x и y. Если -дифференцируемая функция переменных х , у и z и , то частные производные этой неявно заданной функции могут быть найдены по формулам:
, .