![](/user_photo/_userpic.png)
- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
А)
Найти стационарное распределение
температуры
в тонком стержне с теплоизолированной
боковой поверхностью, если на концах
стержня имеем
,
…. .
Решение.
Решим
уравнение Лапласа
- общее решение,
.
Из
краевых условий находим:
.
Видим,
решение
- стационарное распределение температуры
в данном стержне носит линейный характер.
Б)
Будем решать задачу Дирихле для уравнения
Лапласа, преобразованного заменой
, в уравнение Лапласа в полярных
координатах
точки
.
Пусть
дан круг радиуса R
с центром в полюсе 0 полярной системой
координат, на окружности которого задана
непрерывная - периодическая функция
полярного угла
. Будем искать функцию
,
гармоническую в круге и удовлетворяющую
на его окружности граничному уравнению
. Искомая функция должна удовлетворять
в круге уравнению Лапласа .
Решение.
Согласно
методу Фурье частное решение нашего
уравнения ищется в виде произведения
. Подставим это выражение в наше
уравнение то, получим
Или
Разделяем
переменные
Так
как левая часть этого равенства не
зависит от
,
а правая от
,
то обе они не зависят ни от
, ни от
,
то есть равны постоянному числу.
Значит,
тождество возможно лишь в том случае,
когда общая величина отношения будет
постоянной. Обозначим эту через
.
Приравнивая каждую часть полученного
равенства постоянной
, получаем обыкновенных дифференциальных
линейных однородных уравнения
Параметр
.
Отсюда, если
,
то уравнения принимает вид
Их
общее решение, соответственно, будут:
Если
же
,
тогда общее решение уравнения будет
вида
Решение
уравнения Эйлера будем искать в виде
.
Подставляя его в соответствующее
уравнение, получим
Или
т.е.
.
Итак, имеется два линейно независимых
частных решения
и
;
их линейная комбинация с константами
даст общее решение уравнения :
Подставим общие решения
и
в соответствующие формулы. Получим
функции
при
,
которые будут частными решениями
уравнения .
Заметим,
что решение
,
как функция от
,
должно быть
-
периодической функцией, так как при
одном и том же
для углов
мы должны иметь одно и то же значение
решения, потому что рассматривается
одна и та же точка круга. Поэтому,
очевидно,
,
а число k
может принимать одно из целочисленных
значений: 1,2,3, …(
).
Далее, ищется решение непрерывное и
конечное в круге, в частности и при r=0.
Значит, должно … и… (иначе функция
и
имели бы разрыв в точке r=0).
Итак, несколько изменив обозначения, мы получим множество частных решений уравнения Лапласа :
,
,
n=1,2,3, …,непрерывных в круге. Теперь решение задачи Дирихле мы можем искать в виде функции
которая
вследствие линейности и однородности
уравнения также является его решением:
Подберем
произвольные постоянные
так, чтобы выполнились граничные условия.
При
r=R
имеем
,
то есть
Для выполнения равенства нужно, чтобы
функция
разлагалась
в ряд Фурье на интервале (
)
и чтобы
и
были ее коэффициентами Фурье, то есть
вычислялись по формулам
Таким образом, получим формулу решения задачи Дирихле
Используя
формулу Эйлера
и формулу суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, преобразуем
выражение, стоящее в квадратных скобках:
Отсюда
имеем решение задачи Дирихле для круга
радиуса R
,
где интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.
Вывод: Решение задачи Дирихле для круга находят в виде ряда, где коэффициенты вычисляются по формулам либо через интеграл Пуассона находится решение данной задачи.
Пример.
Решить задачу Дирихле для уравнения
в круге
с граничным условием
Решение.
Для данной задачи Дирихле решение ищем
в виде ряда
Коэффициенты
которого
,
,
(n=1,2,3…)
определяются по формулам
По
условию дано:
,
радиус круга R=2.
Находим
Когда n=1, то
Когда n=3, то
Если n=1, то
Если n=3, то
Используя
свойство нечетности подынтегральной
функции
,
получаем сразу
Итак,
получим следующие значения коэффициентов
ряда
;
все остальные коэффициенты
,
Таким
образом, решение данной задачи Дирихле
Примечание. При взятии интегралов в примерах для самостоятельного решения удобно использовать следующие формулы:
Если
функция f(t)-
четная , то есть f(-t)=
f(t)
, то
Если
функция f(t)-
нечетная , то есть f(-t)=
-f(t)
, то
Замечание. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в конце ищется в виде
Коэффициенты определяются из граничных условий.
Задача
Дирихле для прямоугольника
,
(рис.3).
Найти функцию
,
удовлетворяющую уравнению Лапласа
и граничным условиям