3.2.1. Способы описания линейных динамических систем

средствами Control System Toolbox

В пакетах расширения Control System Toolbox, системы MATLAB приняты следующие способы описания линейных динамических систем с постоянными параметрами: система уравнений первого порядка в фазовом пространстве, или в пространстве состояний системы (SS — state-space), передаточ­ная функция системы в виде отношения двух полиномов (TF), пе­редаточная функция в так называемом виде нуль/полюс/коэффи­циент усиления (ZPK).

1. Наибольшее распространение получил пер­вый способ, который дает наилучшую точность при вычислениях и в большей степени удобен при теоретических исследованиях и практической реализации алгоритмов управления с применением вычислительных машин и т. д.

При применении этого способа дифференциальные уравне­ния, описывающие динамику системы, имеют вид:

Ax+Bu (3.1)

где х — n-мерный вектор состояния системы (вектор фазовых ко­ординат), u — р-мерный вектор внешних воздействий, состоящий из заданных величин, возмущений, управлений, формируемых ре­гулятором, А и В — переходная матрица системы и матрица управ­лений соответствующих размеров. Предполагается, что измерению доступна только часть состояний системы или их линейных ком­бинаций, такие переменные у называются выходами системы:

у = Сх + Du (3.2)

где у — m-мерный выходной вектор, C, D — матрицы соответст­вующих размеров. Для большинства реальных объектов управле­ния D = 0.

В рассматриваемых пакетах расширения имеется возможность манипулировать с системой, описываемой уравнениями как с одним объектом МАТLАВ. Для этого нужно матрицы А, В, С, B трансформировать в систему, используя команды ss. В главе 2 представлен пример системы, которую можно описать переменными состояния, где в качестве объекта управления была RCL цепь на представленная на рис. 2.21. С учетом уравнения 2.30 (уравнения состояния RCL-цепи) и значений R=3, L=1, C=1/2.

Можно представить фрагмент М-файла:

Рис. 3.7. Скрипт М-файла для RCL-цепи в переменных состояния.

В 10 строке sys – зарезервированное слово обозначающее систему.

2. Передаточная функция (tf) имеет вид

(3.3)

3. ZPK модель имеет вид

(3.4)

3.2.2. Особенности построения частотных характеристик линейных систем в Control System Toolbox

Рассмотрим особенности построения частотных характеристик линейных (линеаризованных) систем с использованием пакета прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.

В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:

tf ([b_m, …, b₁, b₀], [a_n, …, a₁, a₀])

b_m, …, b₁ – значения коэффициентов полинома В в

a_n, …, a₁ – значения коэффициентов полинома A в.

Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Некоторые команды Control System Toolbox

Синтаксис	Описание
pole(<LTI-объект>)	Вычисление полюсов передаточной функции
zero(<LTI-объект>)	Вычисление нулей передаточной функции
step(<LTI-объект>)	Построение графика переходного процесса
impulse(<LTI-объект>)	Построение графика импульсной переходной функции
bode(<LTI-объект>)	Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде)
nyquist(<LTI-объект>)	Построение частотного годографа Найквиста

Для определения корней полиномов степени k, может, также, применятся команда MATLAB roots(P), которая, в качестве аргумента P, получает матрицу коэффициентов полинома [p_k, …, p₀].

Другим вариантом получения графиков динамических характеристик САУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI viewer, вызов которого осуществляется командой ltiview которой, в качестве параметра, можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.

Таким образом, выполнение работы состоит из следующих шагов:

1.Изучить теоретические сведения.

2.Запустить систему MATLAB.

3.Создать tf-объект, в соответствии с заданным вариантом.

4.Составить дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ.

5.Определить полюса передаточной функции с использованием команды roots или pole.

6.Определить нули передаточной функции с использованием команды roots или zero.

7.Используя LTI-viewer, или соответствующие команды (табл.1) получить динамические характеристики – переходную функцию h(t), импульсно-переходную функцию w(t) и частотные характеристики – диаграмму Боде, частотный годограф Найквиста.

8.Получить представление исходной функции в виде произведения типовых звеньев.

Методический пример

Задана передаточная функция САУ

.

Найдем ее динамические и частотные характеристики. Будем работать в командном режиме среды MATLAB.

1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:

2. Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.

3. Построим переходную функцию командой step(w). Результат ее выполнения приведен на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Переходная функция h(t).	Рис. 3.9. Импульсная переходная функция.

4. Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w). Результат показан на рис. 3.9.

5. Диаграмму Боде получим, используя команду bode(w) – рис.3.10.

6. Определим частотный годограф Найквиста, выполнив команду nyquist(w) – рис. 3.11.

Рис. 3.10. Диаграмма Боде	Рис. 3.11. Частотный годограф

Рис. 3.12. LTI-viewer

Аналогичные результаты (рис. 3.12) можно получить, используя команду ltiview(w), с соответствующими настройками в меню “Plot Сonfiguration”. Каждая из построенных характеристик полностью и однозначно определяет рассматриваемую систему управления.