8.2. Статистический ряд и его характеристики

Сбор и обработка статистических данных базируется на при­ менении так называемого выборочного метода.

Выборкой называют часть данных, полученных из общей сово­ купности, называемой генеральной совокупностью, по отношению к которой на основании данных выборки делают соответствующие выводы. Если выборка достаточно хорошо представляет соответст­ вующие характеристики генеральной совокупности, то такую вы­ борку называют представительной илирепрезентативной.

Данные, полученные на основании выборки, представляют собой первичный статистический материал, подлежащий обра­ ботке, чтобы выявить факты, которые за ними стоят.

Поскольку выборочные данные являются случайными, изме­ ряемую величину называют случайной величиной (лг). Расположе­ ние данных в возрастающем или убывающем порядке называется

ранжированием. Для получения статистического ряда необхо­ димо не только ранжировать статистический материал, но и объе­ динить в группы. Изменение фиксируемых значений случайной величины может быть дискретным или непрерывным.

Дискретным значением случайной величины называют та­ кое, при котором рядом лежащие значения в ранжированном ряде отличаются одно от другого на некоторую конечную величину (обычно целое число). Например, число дефектных изделий в вы­ борке.

Непрерывным изменением случайной величины называют такое, при котором рядом лежащие его значения в ранжирован­ ном ряду отличаются одно от другого на сколь угодно малую ве­ личину, например, пробивное напряжение материала. При непре­ рывном изменении случайной величины ее распределение назы­ вают интервальным. За величину интервала (его также называют классом) принимают его середину, т.е. центральное значение.

Генеральную совокупность, как и выборку, также представ­ ляют характеристиками положения и рассеяния случайной вели­ чины.

Вместо выборочной дисперсии s2 часто применяют выбороч­ ное стандартное отклонение s. Оно имеет ту же размерность, что и средняя арифметическая, что позволяет отображать их на одном графике.

± ( х , - х ) 2

_/=]_________

п - 1

Важнейшим этапом, предшествующим принятию решения при управлении процессом, является определение закона распре­ деления случайной величины по выборным данным. Чаще всего на практике встречается гауссовский закон распределения, кото­ рый получается при трех условиях (рис. 10):

1)случайные величины независимы (или слабо зависимы);

2)их число велико (стремится к бесконечности);

3)среди случайных величин ни одна не превалирует.

Рис. 10. Кривая, подчиняющаяся гауссовскому закону

Параметрами гауссовского распределения являются M(JC) и а(х).

Площадь под кривой Гаусса равна 1, или 100% всех значе­ ний случайной величины находится в генеральной совокупности

Если рассмотреть частный случай, когда М(х) равно нулю, а о{х) равно единице, то, обозначив плотность вероятности через fo(x), имеем

/o (*)=(l 1 ^ ) е хП

Функция легко табулируется, и для нее существует таблица, которая приводится почти во всех справочниках по статистике. Интерес представляет величина площади под кривой, располо­ женной между одно-, двух- и трехсигмовыми границами (табл. 6).

Т а б л и ц а 6

Величина площади под кривой Гаусса при различных границах изменения случайной величины

На практике участок, лежащий внутри трехсигмовых границ, называют абсолютным критерием достоверности, а в математи­ ческой статистике - правило трех сигм.

8.3.Виды производственных функций распределения погрешностей

Виды законов распределения погрешностей, часто встре­ чающиеся в производстве, приведены на рис.11, где: а, в - грани­ цы поля допуска, Р - вероятность появления значения.