Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

12.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

При га= 0 она равна абсолютной пропускной способности СМО с отказами (?*o(1)= W2)(0))- Естественно, что при решении постав ленной задачи величина Д должна быть ограничена условием

Абсолютная пропускная способность системы га) при не ограниченном увеличении числа га зависит от того, какое значе-

X ние имеет параметр */.= — .

ГЦ1

Рассмотрим два случая: 1 х < 1.

Б этом случае [см. (5.1.9) и (5.1.2)]

*>ю2) = lim Х(о2) (т) = lim ХЯобс (га)=
=/. lim 1—%п	Р(п,	а)
		-- -------------- 1 =
т-+ов	R (п, а) + Р (л•в)х"7=Г J

Таким образом, величина Д при х < 1 равна

Д = X — Х0 (т*) = X — Х Р 0бс (т*)= Ъ.т*рп(т*)=

= >	»”* Я (я, а)
	1 - х т *
	R (л, а) + Р (л, а) х ——-----

Из этого выражения после простых преобразований можно найти

величину т *	как функцию величин Д, п, а, х:
А Г R (п,		а) +	Р (л, а)х
А Г R (п,		а) +	^ ][Р (П . “)(l +	1— X
lg	х L		^ ][Р (П . “)(l +	1— X
т			lgX
			lgX

Полученное из последнего выражения число нужно округлять до ближайшего большего целого числа, так как число мест в очере ди га* должно быть целым.

2. х ^ 1 .

В этом случае при га=оо стационарного режима не сущест вует, однако абсолютную пропускную способность системы мож но определить исходя из того, что система будет полностью за гружена:

Xo2)= lim Хо2)(га) = Л|А.

191

Величина А при х ^ 1 будет равна

Л = /7jx —XQ2)(т*) = пц —л			1 —У."					р (//, *)
Л = /7jx —XQ2)(т*) = пц —л			1 —У."							1—:
					/? (л,		1) +	Р (/7, а) у.		1—:
					/? (л,		1) +	Р (/7, а) у.
откуда
	т	Я ( / 7 , /7 ) —	—	# (/7,	/7)		( / = ] , а = л ) ,
	т						( / = ] , а = л ) ,
		Y P(n’ п)
/	\			R(n,	*) +		Р (/7,	а) у.
		1—		R(n,	*) +
		1—
1g [	к ~	у.	(/7,	/ Д			1 — у. \		Я (77, а )	*Л
		Я	(/7,	а) +		“	у.	]	1 — 7
т =				\	I	“	у.	]	1 — 7	(;л>1).
т =				Igy .						(;л>1).
				Igy .
Полученное значение т*				нужно		округлить до				ближайшего

большего целого числа.

Во всех формулах этого примера величина А должна удов летворять условию

A <X is>-Xj?> =

.	R ( n — 1, а)	, ^ \
ту. —>.---------- (•/• >		1).
1	R (л. a)	V ^

§5.2. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СОЖИДАНИЕМ И ПОЛНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ

МЕЖДУ КАНАЛАМИ

П о с т а н о в к а з а д а ч и . На вход /г-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью X. Интенсивность простейшего потока обслужи-

ваний каждого канала р. Если заявка застает все каналы свобод ными, она принимается на обслуживание и обслуживается все ми п каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в п раз. После окончания обслуживания все ка

налы освобождаются одновременно. Если вновь прибывшая за явка застает в системе одну заявку, то она принимается на об служивание: часть заявок обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов приблизительно равномерное. Если в системе обслуживалось k

заявок	(& = 0, 1,	п— 1),	то вновь	прибывшая заявка прини
мается	на обслуживание		и все k + 1	заявок обслуживаются п

каналами, распределяясь произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием, т. е. порядак обслужива ния тот же, что и в СМО с отказами и полной взаимопомощью,

192

рассмотренной в § 4.3. Если в системе имеется п заявок (каждая

из них обслуживается одним каналом), то вновь прибывшая заявка встает в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов. Если в системе имеется п + r заявок (п из них обслу живается и г ожидают в очереди; г = 0, 1, 2, ..., т— 1), то вновь

прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди т. Если вновь прибывшая заявка застает в оче реди т заявок, то она получает отказ и исключается из обслу

живания. Попавшие в систему заявки (на обслуживание или в очередь) обслуживаются до конца (заявки «терпеливые»). Вели чины п, р, т будем называть параметрами СМО.

Рис. 5.2.1

Состояния рассматриваемой системы будем связывать с чис лом заявок, находящихся в системе:

хк— в системе имеется k заявок (& = 0, 1, ..., л), они обслужи

ваются всеми л каналами, общая производительность

обслуживания лр;

хп+г — в системе имеется л+ r заявок (r=0, 1, ..., т ) , л-из них обслуживается п каналами (каждый канал обслуживает одну заявку), г заявок ожидает в очереди.

Граф состояний такой системы показан на рис. 5.2.1. На осно вании этого графа состояний можно составить систему диффе ренциальных уравнений для вероятностей состояний, которая справедлива не только для постоянных, но и для любых перемен ных параметров X(t) и р(/). Читатель может составить такие

уравнения самостоятельно, воспользовавшись мнемоническим правилом, изложенным в § 2.3.

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при Х= const, р = const, т < оо, t— кх>), который существует, так как

система обладает эргодическим свойством (см. § 2.4).

Заметим, что граф состояний рассматриваемой системы с точностью до обозначения максимального числа возможных со стояний совпадает с графом состояний СМО с отказами и полной

взаимопомощью, изображенным на		рис. 4.3.1. Следовательно,
вероятность пребывания в /-м состоянии			(/ = 0, 1, 2, ..., k. ..., л, ...,
л + г, ..., л + пг) будет определяться		по формулам, аналогичным
(4.3.9),	(4.3.10):
	у/!+/« +1	при	у.	1;
	у/!+/« +1			(5.2.1)
				(5.2.1)
	п + т 4- 1	при	у=	1,
	п + т 4- 1

193

г д е

ГЦ1

Среднее число заявок, находящихся в системе, найдем из вы ражения

'	1— ъп +т [(п + т){\ — х ) + 1]	(* ф 1);
п + т	( 1 _ . Ал+ т + 1 ^ ( 1 _ х)
7 = j l P i =		(5.2.2)
	п + т
1=О
	(* = !)•

Вероятность обслуживания заявки равна вероятности того, что заявка, поступившая на обслуживание, застанет свободным хотя бы одно место в очереди:

		л+т
	п + т —1	1 - * ;	при х Ф 1;
		I _уП+т+1	при х Ф 1;

Р о б е —		P i — 1 Рп +т—	(5.2.3)
	1= 0	п + т	при х = 1.
	1= 0	п + т + 1	при х = 1.
		п + т + 1

Для нахождения среднего числа занятых каналов восполь зуемся равенством

Яо6С = ^к ,
откуда	1—У.п + т
		при	хф 1;
1	-
	__у и + т +		(5.2.4)
k — <хРобе—	п + т
П		при	X= 1,

п + т -f 1

где

а— *X

Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой

пп + т

®==5]/Л+я S Рг =

		1=0		1=п +1
	1— хл [л(1 — ■/,)+ 1]				j(x=£ 1);
I __ х п + т + 1		1—X		+ п [хл —
					(5.2.5)
»(«+•!)		—	1	^ = 1).
	-пт

	J	п + т +		1

194

Вероятность того, что канал занят:

\|	к		7 (* ф 1);
\|	к
,К	п	п 4- т	(*= !)•
		п -f т + 1	(*= !)•
		п -f т + 1

Вероятность того, что система полностью загружена:

		1—V.			т
	Р п + Г = Y J	1—V.		=а	Е *г “
" n . 3 = y .	Р п + Г = Y J	* " + ' ------- ---
М	М	л+т +1
М	М	1 — х‘			г = 0
г=Г,	г=О				г = 0
= Рп	1— *m+1	1_+1
= Рп	1 — у.	л. 1	+ l
	1 — у.	1 —	+ l

При х = 1 получим

Ш4- 1

п + т + 1

(5.2.6)

(5.2.7)

(5.2.8)

Время простоя канала Гп.к распределено по показательному

закону с параметром Л, так как граф состоя
ний для определения закона распределения	П* 1	* ^
времени Тп. к имеет вид, показанный на рис.	L 0 1	*
5.2.2.
Среднее время простоя канала равно	Рис. 5.2.2
^П.К-- ‘		(5.2.9)

На основании эргодического свойства среднее время занято

сти канала найдем из выражения
^З.К -- ^п.к	(5.2.10)
^З.К -- ^п.к	1 Я3.к

Закон распределения времени занятости канала определяется с помощью графа состояний, показанного на рис. 5.2.3. Систему

I ° ЬЧXf 1-С’■dp*	Л	*
I ° ЬЧXf 1-С’■dp*	лу.	• • •	Z.	j-*+l
Лу Пу. Лу	лу.	лу. ,пу. яр	Яр.	п\1
		Рис. 5.2.3

дифференциальных уравнений, соответствующую этому графу состояний, нужно интегрировать при начальных условиях

Л(0) = 1; Л(0) = 0 (I ф 1).

(5.2.11)

Закон распределения времени неполной загрузки системы / н.з определяется с помощью графа состояний, изображенного на рис. 4.3.5, так как этот закон для СМО с ожиданием и полной взаимопомощью будет таким же, как и для СМО с отказами и полной взаимопомощью, рассмотренной в § 4.3. Следовательно, среднее время неполной загрузки системы будет определятся [см. (4.3.23), (4.3.22), (4.3.21) и (4.3.39)] по формуле

1 —х

	1 — хЛ	1 — Xй
t	1 — х',+1	1 — Xй	(5.2.12)
t	1 —х	(1 — ос) (**!)■	(5.2.12)
При х = 1 получим	1— хя+1
При х = 1 получим	- __ 1
	- __ 1		(5.2.1?.)
	tН.З ---		(5.2.1?.)
Среднее время	полной загрузки	системы можно	найти на
основании эргодического свойства:
	Яп.з		(5.2.14)
	= tН.З	л п.з	(5.2.14)
	1	л п.з

где Яц.з — вероятность полной загрузки системы определяется по


формуле		(5.2.7)	при к ф 1	или по формуле		(5.2.8) при х = 1 .
						Закон		распреде
( О	-	—				ления времени			пол
( О	-	—				ной	загрузки		систе
’--------Т	е	------- 1	« V-	п *	п*	мы	можно найти с
			Рис. 5.2.4			помощью		графа со
			Рис. 5.2.4			стояний,		изображен

ного на рис. 5.2.4. Соответствующую этому графу состояний систему дифферен

циальных уравнений нужно интегрировать при начальных усло виях

/7„(0)=1; pk(0)-----0	( k ^ n ) .	(5.2.15)
Рассмотрим основные параметры	очереди	в такой системе

массового обслуживания. Найдем среднее число заявок г, нахо

дящихся в очереди:

тт

~г==^гря+г= ^ х « х '		1—X
		Г =
г=1	Г=0	у(п + т + 1

= Рп^ГУ.г= РпУ. 1 — %п 1т(\ — х) + 1) (**1), 15.2.16)

г=0

196

г д е
Р п = ' ] — .j^n+m+l	(5.2.17)

вероятность того, что в системе будет ровно п заявок, но очереди

не будет.

При х= 1 получим выражение, аналогичное	выражению
(5.1.16):
т(m + 1)	(5.2.181
Г = Рп	(5.2.181

где

	Рп	1
	Рп	п + т + 1
		п + т + 1

Заметим, что при любых значениях х должно выполняться ра венство

7 = 7 + 7 ,

Т. о. среднее число заявок в системе равно сумме среднего числа

обслуживаемых заявок и среднего числа заявок, ожидающих в очереди.

При наличии очереди рассматриваемая система работает таким же образом, как и система, исследованная в предыдущем параграфе. Поэтому среднее время пребывания заявки в’очереди

будет равно	__
7,, =	+	(5.2.19)*

где величина г определяется в зависимости от значения х либо из выражения (5.2.16), либо из выражения (5.2.18).

Закон распределения времени нахождения в очереди найдем таким же образом, как это мы делали в предыдущем параграфе:

т — 1		т —1	г
р {То, > 0 = j	Рп rP (Т	> / 1х и г) = £	хгр„ j + +	е - ^ =-.
г —0		г - 0	к - 0
=	R ( tn - \,	>J)-Y.mR ( m - 1, rap/)](*¥= 1),		(5.2.20)

где рп определяется из выражения (5.2.17). При х= 1 получим

Р(Точ>*)т=Р„['пР(’п — 1. n\>.t)—nptR{m —2, яр./)], (5.2.21)

где

*Вывод этой формулы был дан в § 3.2.

197

Вероятность того, что время нахождения в очереди будет рав но нулю, равно вероятности того, что поступившая заявка будет либо немедленно принята на обслуживание, либо застанет все

места в очереди занятыми:
		л—1			m—1
Р (^оч = 0) =		У^ P k - \ - P n + m =		1 —	Рп+Г=
		й=0			г= 0
т—1						/л—1
— 1 __уП + г ________ t___ t __ — 1 —				------ -----------		V	у/ —
^	j	^л+m+l		j	уп +т + 1	^
г - О		1-			г - О
		1-	* / / 7 7	г				(5.2.22)
	= 1 - « п 1 — л+т-1			( * * !) •				(5.2.22)
	= 1 - « п 1 — л+т-1			( * * !) •
При к = 1 получим
Я (ГОЧ= 0 )= 1 -			т		п + 1			(5.2.23)
Я (ГОЧ= 0 )= 1 -			m + 1		л + /и +	]		(5.2.23)
		я +	m + 1		л + /и +	]
Функцию распределения времени Точ найдем из выражения
^оч(7) =	Я(7’оч < /)= 1 - P { T 04> t ) - P ( r 04 = t).							(5.2.24)
В этом выражении для любых моментов времени							0 вероят
ность P(T04 = t) =0. График функции				распределения			имеет вид„
показанный на рис. 5.1.7.
Плотность	распределения времени нахождения						в	очереди
определяется выражением, аналогичным выражению (5.1.37):
р		R (m — 1,	Х/) +
/о ,(0 =	+ 8 (^) (1 —//л • ~ ~ ) ( х Ф 1);							(5.2.25)
pn\R(m — 1,		W) + 8 (0 (l —pnm )(x= \, X=				«li).

Если число мест в очереди ничем не ограничено (т = о о ), то стационарный режим существует только при к<1. Об этом под робно говорилось в предыдущем параграфе. В этом случае веро ятность того, что в системе будет ровно I заявок (/^ 0 ), опре

деляется из выражения

Pi = %l{1—*)>

(5.2.26)

которое представляет собой известное распределение Паскаля. Вероятность обслуживания при т = оо равна единице

(Л)бс = 1); среднее число занятых каналов будет равно

k = -^S £ s.= — =a.		(5.2.27)
I1	>

198

В ер о я т н о ст ь того, что канал зан ят, равна

*..К=1 - Р о = — =х.	(5.2.28)
п
Вероятность того, что система будет полностью	загружена,
найдем из выражения
л -1

-п.з=	2 ^	= 1 ~ 2 Рк=хП-
	г=О	k = 0

Среднее число заявок в очереди равно [см. (5.2.16)]

Г = Р„	= * я(1—*)	vл+1
		' (1—%)2 1—%
	(1—*)2 '

(5.2.29)

(5.2.30)

Среднее число заявок в системе найдем из выражения

I=Ё/Рг=£ /х,(1_): 1—	(5.2.31)
/=о /=о

Среднее время пребывания заявки в очереди

		1	хЛ+1	(5.2.32)
^04	1Л	к	11— -х.	(5.2.32)

Вероятность того, что время ожидания в очереди будет боль ше t, определим из выражения (5.2.20) при т — кэо:

р (Точ> /) =

у > 0).

(5.2.33)

Вероятность того, что время пре бывания в очереди будет равно ну лю, найдем из выражения (5.2.22) при пг— кх> и х<1:

Я(ГОЧ= 0) = 1 - Л

(5.2.34)

Следовательно, функция распре деления времени нахождения заяв ки в очереди равна

F 04(0 = Р (Т'оч < t) = 1 - Р (Ton > t ) - P (T04 = t).

График этой функции распределения имеет вид, показанный на рис. 5.2.5.

199

Среднее время пребывания заявки в системе найдем из вы ражения:

’ 1	1— хп +ш [(А2+ т ) П - у.) +		1] (у Ф 1);
П\х		(1 _+	(5.2.35)
7 = L = r.± L	т		(5.2.35)
п	т	(4= 1).
	2Х	(4= 1).
	2Х
При т со и 4	I получим
	7 = — = - 1		(5.2.36)
		/lfJL 1 ---- 7 .

О с н о в н ы е р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы

Вероятность того, что в системе будет k заявок:

	1—4	- (4	¥= 1, 6 =		0, 1,	2 , . . п-\-т);
	!_»«+»*+	- (4	¥= 1, 6 =		0, 1,	2 , . . п-\-т);
Рк=	!_»«+»*+
Рк=	1	(*=!)>
	1
п	+ т + 1
п	+ т + 1
где
			П[1
Вероятность обслуживания заявки
			] _уп+ т		(х ^	1 )*>
	Робе —	I	уп+ т+1		(х ^	1 )*>
	Робе —		п -f т
			п -f т	(*=!)■
		/2 + /Й+1		(*=!)■
		/2 + /Й+1
Среднее число занятых каналов
			\ - ъ п+т
	пъ-----				( * # П ;
	k =	1]._-ХП-Г"« +1			( * # П ;
	k =	я	п 4- m		(Х.-1).
			п 4- m

п + т + 1

Среднее число обслуживаемых заявок

i -%я[л(1-%) + 1

/г%[хя — х ’+'и] (у. =£ 1);

s =

/1Г/14- I)	-//77/1	!	(x== 1).

	J	7/ -h m +	1

2 0 0

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги