книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

Среднее число заявок в системе

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

1_ х л+т+1(1 —х)

Г = 1— S —

т ( т + 1)

2 (п т + 1) - (*= !)•

Вероятность того, что канал занят:

т1

п+ т + 1

201

Среднее время нахождения заявки в системе

х

Среднее время нахождения заявки в очереди

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

5.2.1.Доказать, что СМО с очередью и полной взаимопомо­ щью между каналами (т > 0 ) имеет большую пропускную спо­ собность, чем СМО с отказами и полной взаимопомощью между каналами при условии, что параметры обеих систем (я, X, р) одинаковы.

5.2.2.Доказать, что СМО с очередью и полной взаимопомо­ щью между каналами имеет большую пропускную способность* чем СМО с очередью и отсутствием взаимопомощи при условии,, что параметры обеих систем (я, X, р, т) одинаковы.

5.2.3.Рассматривается СМО с ожиданием и частичной взаимопомощью, когда каналы могут помогать Друг другу* объединяясь в группы, наибольший состав которых равен /< я . Подобная система с отказами рассматривалась в § 4.4. При за­

нятии всех каналов очередная пришедшая заявка не получает

Л Л , X Л. , к \

х 0

отказ, а может стать в очередь, число мест в которой равно /я. Составить размеченный граф состояний системы и найти основ­ ные характеристики работы такой системы.

Р е ш е н и е .

Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 5.2.3а. На

этом графе величина A=^-y-j Равна целой части отношения

-у-. Этот граф с точностью до обозначений совпадает с графом

состояний системы массового обслуживания с частичной взаимо­ помощью (см. рис. 4.4.1) или системы массового обслуживания с ожиданием (см. рис. 5.1.1.)

202

Следовательно:

Р(Ь, щ)

где

а,—

Щ

Для краткости рассмотрим только случай, когда к ф 1.

Вероятность обслуживания найдем по формуле

Р обс== 1 Рп+т= 1 —Ph * y.n~~flJrTn.

Среднее число занятых каналов будет

k = (xPo6c.

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

1 — у-л+ т [(п + т ) ( 1 —- у.) Ч- 1]

Среднее число обслуживаемых заявок

5= / —г.

Среднее время ожидания в очереди

г°ч==Т

203

и среднее время пребывания заявки в системе

I

(При необходимости можно определить и другие характери­ стики системы с частичной взаимопомощью).

§5.3. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ

ИПРИОРИТЕТОМ В ОБСЛУЖИВАНИИ

Зачастую при рассмотрении систем массового обслуживании приходится иметь дело с заявками определенного типа, которые должны обслуживаться в первую очередь. Примером такой системы массового обслуживания является аэродром с одной взлетно-посадочной полосой (ВПП). Самолетам, идущим на по­ садку, ВПП предоставляется в первую очередь, т. е. они пользу­ ются приоритетом в обслуживании по сравнению с самолетами, которые используют ВПП для взлета. Аналогичную картину мы наблюдаем .на автозаправочной станции (АЗС), где обычно рейсовые автобусы обслуживаются в первую очередь.

В системах массового обслуживания с приоритетом могут быть различные варианты дисциплины обслуживания.

Системами с абсолютным приоритетом называются такие системы, в которых заявка, обладающая приоритетом, немедлен­ но принимается к обслуживанию каналом, занятым обслужива­ нием заявки без приоритета в обслуживании. Например, если на АЗС прибывает рейсовый автобус, а в это время заправляется легковая машина, то ее заправка прекращается и начинается заправка автобуса. После того, как заявка, обладающая приори­ тетом, будет обслужена, и других заявок, обладающих приори­ тетом, нет, возобновляется прерванное обслуживание заявки, не обладающей приоритетом. Здесь возможны различные вариан­ ты: заявка, обслуживание которой было прервано, начинает об­ служиваться заново; прерванное обслуживание заявки начинает­ ся с того места, где оно было прервано; заявка, обслуживание которой было прервано, вообще теряется.

Системами с относительным приоритетом называются такие системы, в которых заявка, не обладающая приоритетом, обслу­ живается до конца, после чего принимаются к обслуживанию за­ явки, обладающие приоритетом (если такие имеются).

Из всех возможных систем массового обслуживания с прио­ ритетом здесь будет рассмотрена только одна, самая простая, а именно, одноканальная СМО с абсолютным приоритетом.

П о с т а н о в к а з а д а ч и . Рассматривается одноканальная система с абсолютным приоритетом, на вход которой подаются два независимых простейших потока заявок с интенсивностями и >12. Заявки первого потока (интенсивность которого равна

204

h) обладают приоритетом в обслуживании. Число мест в очере­

ди для заявок обоих видов не ограничено. Если канал обслужи­ вает заявку первого потока, то интенсивность простейшего потока обслуживаний равна Если канал обслуживает заявку вто­ рого потока, то интенсивность простейшего потока обслужива­ ний равна р,2. В этом случае нет различия между двумя вариан­

тами дисциплины обслуживания:

а) прерванное обслуживание заявки начинается с того места, где оно было прервано;

Рис. 5.3.1

б) заявка, обслуживание которой было прервано, начинает обслуживаться заново.

Это объясняется тем, что интервал времени всего обслужива­ ния и интервал остатка времени обслуживания распределены одинаково по показательному закону с параметром р2-

Рассмотрим случай, когда число мест в очереди для заявок обоих видов (с приоритетом и без приоритета) не ограничено. Состояния системы будем связывать с числом заявок /, облада­ ющих приоритетом, и числом заявок /, не обладающих приорите­ том, находящихся в данный момент t в системе. Рассмотрим раз­

личные состояния системы:

х0,о — в системе нет никаких заявок;

этих / заявок одна обслуживается и / — 1 заявок ожидают в очереди;

205

ференциальных уравнений для вероятностей состояний:

Эту систему дифференциальных уравнений обычно интегри­

(в начальный момент система свободна).

Решение системы уранений для любого момента t удовлетво­

2 0 6

Величина а\ равна среднему числу заявок, обладающих приори­

Найдем стационарный режим работы системы с приоритетом, для чего нужно в уравнениях (5.3.1) положить все производные равными нулю.

Допустим, что нам удалось решить полученную систему алге­ браических уравнений и вероятности p,-,j (i = 0, 1, 2,..., /= 0 , 1,2 ...) найдены. Тогда вероятность р,(1) того, что в системе будет ровно i заявок, обладающих приоритетом (безотносительно к тому,

сколько имеется там заявок, не обладающих приоритетом), мож­ но найти по формуле

;=о

Так как рассматриваемая нами система является системой с абсолютным приоритетом, то рассмотрение вопросов обслужи­ вания заявок, обладающих приоритетом, можно проводить без учета наличия заявок, не обладающих приоритетом. Одноканаль­ ная система без ограничения числа мест в очереди была рас­ смотрена в конце § 5.1. Следовательно:

207

Отметим некоторые свойства этой производящей функции:

чения i и /. Проделав это и проведя некоторые простые преобра­

зования, получим

Двойные суммы, входящие в выражение (5.3.16), могут быть выражены через функции ф(х, у). Проведя соответствующие пре-

208

образования выражения (5.3.16), получим следующую формулу:

Это даст нам возможность (после некоторых довольно гро­ моздких преобразований, которые мы опускаем) получить следу­ ющее выражение для производящей функции:

(1 — д) (1 — a^i)_____

<?(*, у) = (5.3.20) (1 — а,*! — сед) (1 — чхххх)

где

Обратим внимание на то, что величина Х\ зависит от переменной

у . При у = 1 x i = \ .

Для нахождения отдельных вероятностей состояний можно воспользоваться следующими формулами:

Воспользуемся выражением производящей функции cp(.v, у ) [см. (5.3.20)] для отыскания закона распределения числа заявок, не обладающих приоритетом в обслуживании и находящихся в СМО:

1— я

(5.3.24)

1 — alx l — any

откуда

(5.3.25)

При вычислении производных по выражению (5.3.25) нужно иметь в виду, что величина Х\ является функцией у [см. (5.3.18)].

209

Среднее число заявок, обладающих приоритетом в обслужи­ вании и находящихся в очереди, определяется из выражения, аналогичного выражению (5.1.48):

Среднее время пребывания заявки, обладающей приоритетом, в очереди равно

Среднее время пребывания заявки, обладающей приорите­ том, в системе (в очереди и на обслуживании) найдем по фор­ муле

Среднее число заявок, не обладающих приоритетом и нахо­ дящихся в системе, найдем из выражения (5.3.15):

Среднее время нахождения в системе заявки, не обладающей приоритетом, равно

откуда среднее время ожидания в очереди для заявки, не обла­ дающей приоритетом, будет

210