![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция 7. Приближенное интегрирование функций.
- •§7.1. Квадратурная формула Ньютона-Котеса.
- •§7.2. Частные случаи квадратурной формулы Ньютона-Котеса.
- •7.2.1. Формула трапеций.
- •7.2.2. Квадратурная формула Симпсона.
- •§7.3. Квадратурная формула Гаусса.
- •§7.4. Приближенное вычисление несобственных интегралов.
- •§7.5. Кубатурные формулы типа Симпсона.
Лекция 7. Приближенное интегрирование функций.
§7.1. Квадратурная формула Ньютона-Котеса.
Если
функция
непрерывна на отрезке
и известна ее первообразная
,
то определенный интеграл от этой функции
в пределах от
до
может быть вычислен по формуле
Ньютона-Лейбница:
(7.1)
Однако,
во многих случаях первообразная
не может быть найдена с помощью
элементарных средств или является
слишком сложной; вследствие этого
вычисление определенного интеграла по
формуле (7.1) может быть затруднено или
быть практически невыполнимым. Кроме
того, подынтегральная функция
часто задается таблично и тогда само
понятие первообразной теряет смысл.
Поэтому, важное значение приобретают
численные методы вычисления определенных
интегралов, использующие ряд значений
подынтегральной функции в точках
,
где
.
Определение 7.1.
Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного интеграла - механической кубатурой. Соответствующие формулы называются квадратурными и кубатурными формулами.
Рассмотрим один из способов вычисления определенных интегралов.
Если
воспользоваться, например, интерполяционным
полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию
полиномом
,
получим равенство
(7.2)
где
- ошибка этой интерполяционной формулы.
Требуется
вычислить интеграл
,
где
.
Выбрав шаг
,
разобьем отрезок
на
равных частей с помощью равноотстоящих
точек
,
,
,
,
.
Заменим подынтегральную функцию
интерполяционным полиномом Лагранжа
и получим приближенную квадратурную
формулу
, (7.3)
где
- некоторые постоянные коэффициенты.
Выведем
явные выражения для коэффициентов
формулы (7.3). Многочлен Лагранжа
имеет коэффициенты
.
Введем
обозначения
и
и с учетом этих обозначений многочлен
Лагранжа запишем в виде:
. (7.4)
Заменяя
в (7.3) функцию
полиномом
по формуле (7.4), получим:
,
где
.
Так как
и
,
то сделав замену переменных в определенном
интеграле, будем иметь:
.
Так
как
,
где коэффициенты
(7.5)
называются коэффициентами Котеса, то можно записать следующую квадратурную формулу:
(7.6)
Формула (7.6) называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса.
Нетрудно проверить, что для коэффициентов Котеса справедливы соотношения:
1)
;
2)
.
§7.2. Частные случаи квадратурной формулы Ньютона-Котеса.
7.2.1. Формула трапеций.
а)
Пусть отрезок
достаточно мал. Положим
.
Тогда по формуле (7.5) при
вычислим:
,
,
.
(7.7)
Полученная
формула (7.7) называется формулой трапеций
для приближенного вычисления определенного
интеграла (Рис.7.1).
Погрешность квадратурной формулы (7.7) равна:
,
где
.
(7.8)
Если
,
то формула (7.7) дает значение интеграла
с избытком, если
- то с недостатком.
б)
Рассмотрим общий случай, когда отрезок
произвольной длины.
Разделим
отрезок
на
равных частей
,
,
…,
и к каждому из них применим формулу
трапеций. Получим:
(7.9)
где
.
Формула (7.9) называется общей формулой трапеций. Для нее справедлива оценка погрешности:
,
(7.10)
где
,
,
.
7.2.2. Квадратурная формула Симпсона.
а)
По формуле (7.5) при
вычислим коэффициенты Котеса:
,
,
.
Так как
,
то квадратурная формула для вычисления
интеграла примет вид
.
(7.11)
Формула
(7.11) называется квадратурной формулой
Симпсона. Геометрическая интерпретация
формулы состоит в том, что происходит
замена данной кривой
параболой
,
проходящей через три точки
(Рис.7.2).
Погрешность квадратурной формулы Симпсона равна:
,
где
.
(7.12)
Квадратурная формула Симпсона является точной для полиномов второй и третьей степени.
б) Общая формула Симпсона.
Пусть
- четное число, и
- значения функции
для равноотстоящих точек
с шагом
,
.
Применяя
квадратурную формулу Симпсона (7.11) к
каждому сдвоенному промежутку
,
,
…
длины
,
будем иметь:
Отсюда получим общую квадратурную формулу Симпсона:
.
(7.13)
Остаточный член формулы (7.13) равен:
.
В
силу непрерывности
на отрезке
найдется точка
,
такая, что
.
Поэтому будем иметь:
,
(7.14)
где
.