Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

ÓÄÊ 517.5(075) ÁÁÊ 22.161.5ÿ7 Ã 71

Горячев А.П. Специальные главы функционального анализа.

Горячев А.П. Специальные главы функционального ана-

Числовые и функциональные ряды. М.: НИЯУ МИФИ, 2013. −

лиза. Числовые и функциональные ряды: Учебное пособие.

272 с.

Ì.: ÌÈÔÈ, 2013. 272 ñ.

КнигаПособиепредназначенапредназначенодляäëÿстудентовстудентоввтороговторогокурсакурсавсехâñåõфакулôàь-

тетовкультетов. Изложены. Изложены(с подробными(с подробнымидоказательствамидоказательствами)все необходиâñå íå-

мыеобходимыестудентамстудентамтеоретическиетеоретическиесведениясведения,обычно рассматриваемыеобычно рассмат- на лекциях при изучении тем «Числовые ряды», «Функциональные

риваемые на лекциях при изучении тем Числовые ряды , Функ-

последовательности и ряды», «Ряды Фурье в евклидовых про-

циональные последовательности и ряды , Ряды Фурье в евкли-

странствах» и «Тригонометрические ряды Фурье». В приложении

довых пространствах и Тригонометрические ряды Фурье . В

приведены 30 вариантов примеров, которые можно выдавать сту-

приложении приведены 30 вариантов примеров, которые можно

дентам в качестве домашнего задания. Все варианты приблизи-

тельновыдаватьодинаковыстудентампо трудностив качестве. домашнего задания. Все вариан-

ты приблизительно одинаковы по трудности.

Подготовлена в рамках Программы создания и развития НИЯУПодготовленоМИФИ. в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент: д-р физ-мат. наук, профессор А.И. Рубинштейн

ISBN 978 5 7262 1832 8

c Национальный исследовательский ядерный университет ¾МИФИ¿, 2013

Содержание

1.Общие сведения, относящиеся к числовым рядам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.Понятие числового ряда. Примеры . . . . . . 14

1.2.Линейные свойства сходящихся рядов. Соче- тательный закон . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.Связь рядов и последовательностей. Критерий Коши. Необходимый признак . . . . . . . 20

1.4.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.Знакоположительные числовые ряды . . . . . 23

2.1.Критерий сходимости знакоположительных

рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.Признак сравнения. Интегральный признак . 25

2.3.Признак Даламбера. Радикальный признак

Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.Специальный признак сравнения. Признаки Раабе, Куммера и Гаусса . . . . . . . . . . . . 37

2.5.О порядке роста частичных сумм гармониче-

ского ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.Знакопеременные числовые ряды . . . . . . . . 53

3.1.Абсолютная и условная сходимость . . . . . . 53

3.2.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.Преобразование Абеля. Признаки Дирихле и Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.Признак сравнения и сочетательный закон для знакопеременных рядов . . . . . . . . . . 67

3.5.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.Суммирование числовых рядов . . . . . . . . . 71

4.1.Понятие методов суммирования числовых рядов 71

4.2.Регулярность и полная регулярность метода средних арифметических . . . . . . . . . . . . 74

4.3.Обобщ¼нная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

ЧАСТЬ II. Функциональные последовательности

è ðÿäû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.Сходимость и равномерная сходимость . . . . 84

5.1.Множество сходимости . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.Равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . 87

5.3.Необходимые и достаточные условия (критерии) равномерной сходимости функциональ-

ных последовательностей и функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4.Признаки равномерной сходимости функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5.Свойства равномерно сходящихся последова-

тельностей и рядов . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.1.Степенные ряды. Множество сходимости . . . 119

6.2.Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . 129

6.3.Ряд Тейлора (Маклорена). Аналитические и

неаналитические функции . . . . . . . . . . . 136

6.4.Разложение функций ex, cos x, sin x, ln(1 + x),

(1 + x) в ряд Тейлора (Маклорена) . . . . . . 139

6.5.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

ЧАСТЬ III. Линейные нормированные и евклидовы пространства. Ряды Фурье . . . . . . . . 147

7.Линейные нормированные пространства . . . 148

7.1.Определение и примеры линейных пространств 148

7.2.Определение и примеры линейных нормированных пространств . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.3.Последовательности и ряды в линейных нормированных пространствах . . . . . . . . . . . 162

7.4.Полные линейные нормированные (банаховы) пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.5.Сравнение различных видов сходимости . . . 174

7.6.Примеры неполных линейных нормированных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.7.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . 186

8.1.Определение и примеры евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.2.Сходимость в евклидовых пространствах.

Полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.3.Определение и примеры ортогональных и ортонормированных систем . . . . . . . . . . . . 196

8.4.Ряды Фурье в евклидовом пространстве . . . 202

8.5.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9.Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . 219

9.1.Понятие тригонометрического ряда и ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.2.Вспомогательные утверждения. Ядро Дирихле 222

9.3.Некоторые свойства тригонометрических рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.4.Метод Фейера суммирования тригонометри- ческих рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.7.Вопросы для повторения и самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Варианты домашних заданий . . . . . . . . . . . . . 255

Введение

Данное пособие написано на основе лекций, читаемых автором на протяжении ряда лет в третьем семестре на факультете ¾Т¿ НИЯУ ¾МИФИ¿. Оно состоит из тр¼х частей:

1.Числовые ряды.

2.Функциональные последовательности и ряды.

3.Линейные нормированные и евклидовы пространства. Ряды Фурье.

Кроме того, в приложении даны варианты домашних заданий, которые можно использовать при проведении практи- ческих занятий и зач¼та по этому курсу.

Первая часть пособия посвящена числовым рядам. С использованием связи рядов и последовательностей изложены линейные свойства и критерий Коши сходимости числовых рядов, установлены также необходимый признак сходимости рядов и сочетательное свойство сходящихся рядов. Затем доказаны признаки сходимости íûõ рядов: признак сравнения, интегральный признак, при-

знак Даламбера, радикальный признак Коши, специальный признак сравнения, признак Раабе, признак Куммера, признак Гаусса. Признаки сравнения, Даламбера, Коши, Раабе и Куммера выведены в допредельной и предельной формах. Также доказаны признаки сходимости знакопеременных рядов, связываемые с именами Лейбница, Абеля и Дирихле. Введено в рассмотрение понятие суммирования числовых рядов, включающее в себя обычную сходимость как один из способов постановки в соответствие ряду некоторого числа либо бесконечного символа (так называемой обобщ¼нной

суммы) и установлены регулярность и полная регулярность метода средних арифметических.

Во второй части пособия рассматриваются функциональные последовательности и ряды, то есть такие последовательности и ряды, элементами которых являются уже не числа, à функции, которые для простоты изложения считаются функциями одного действительного переменного, хотя все основные понятия и результаты легко распространить и на более общий случай. Главное понятие, отличающее функциональные последовательности и ряды от числовых, это, разумеется, понятие равномерной сходимости, рассмотрение которого является основным при изучении функциональных последовательностей и рядов и которое здесь изучено достаточно полно. Получены необходимое и достаточное условие равномерной сходимости функциональной последовательности, критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда, необходимый признак равномерной сходимости функционального ряда. Доказаны наиболее часто употребляемые при решении задач признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса, признак Дирихле, признак Абеля. Для равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов установлены достаточные условия почленного предельного перехода, сохранения непрерывности в точке и на множестве, почленного дифференцирования и интегрирования.

В последнем разделе второй части введено понятие степенного ряда как частного случая функционального ряда и изучено его множество сходимости. Получены свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность суммы, единственность коэффициентов, почленное дифференцирование и интегрирование, поведение степенного ря-

Далее рассматриваются евклидовы пространства, то есть линейные пространства со скалярным произведением. Поскольку в евклидовых пространствах естественным образом вводится норма, то все свойства линейных нормированных пространств переносятся на евклидовы пространства. Затем вводятся ортогональные è ортонормированные системы и

по этим системам. Устанавливается минимальное свойство коэффициентов Фурье и неравенство Бесселя. Доказывается, что необходимыми и достаточными условиями базисности ортонормированной (ортогональной) системы является замкнутость этой системы либо равенство Парсеваля. Выводятся также обобщ¼нное равенство Парсеваля

èполнота ортонормированного (ортогонального) базиса.

Âпоследнем разделе третьей части изучаются тригонометрические ряды Фурье. Вначале устанавливаются некоторые вспомогательные утверждения, в частности лемма Римана для кусочно-гладких функций. Частная сумма тригонометрического ряда Фурье выражается через ядро Дирихле, и доказывается поточечная сходимость ряда Фурье для любой кусочно-гладкой функции. Для любой непрерывной периодической функции с кусочно-непрерывной производной доказывается равномерная сходимость ряда Фурье и возможность его почленного дифференцирования. Находится порядок убывания коэффициентов Фурье в зависимости от наличия у непрерывной периодической функции непрерывных периодических производных.

Затем рассматривается применение к тригонометриче- скому ряду метода суммирования средних арифметических (метод Фейера). Суммы Фейера тригонометрического ряда Фурье выражаются через ядро Фейера, и доказывается равномерная сходимость сумм Фейера для любой непрерывной периодической функции. С помощью этого результата уста-