Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лабораторные работы ММП

.pdf
Скачиваний:
66
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
760.46 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОМИССАРОВ В. В.

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ В ПСИХОЛОГИИ

Новосибирск 2011

Работа подготовлена на кафедре высшей математики для студентов,

обучающихся по специальности психология ФГО НГТУ

Комиссаров В. В.

Практикум по математическим методам в психологии: Учеб. пособие. – Новосибирск: НГТУ, 2011. – 102 с.

Данное учебное пособие содержит разработки 4 лабораторных работы по математическим методам в психологии.

Каждая разработка содержит краткие теоретические сведения, необходимые таблицы и варианты индивидуальных лабораторных работ.

© Новосибирский государственный технический университет, 2011 г.

Оглавление

Введение..................................................................................................................................................

 

4

Лабораторная работа №1 .......................................................................................................................

5

Краткая теоретическая справка.........................................................................................................

5

Пример выполнения лабораторной работы в Ms Excel..................................................................

8

Лабораторная работа №2 Оценки различий между выборками......................................................

13

Задача

1..........................................................................................................................................

16

U - критерий Манна-Уитни.............................................................................................................

18

Задача

2..........................................................................................................................................

21

Н – критерий Крускала-Уоллиса ....................................................................................................

24

Задача

3..........................................................................................................................................

27

S - критерии тенденций Джонкира.................................................................................................

32

Задача

4..........................................................................................................................................

34

Лабораторная работа №3 Выявление различий в распределении признака ..................................

37

χ2 - критерий Пирсона......................................................................................................................

37

Задача

1..........................................................................................................................................

41

Задача

2..........................................................................................................................................

41

λ - критерий Колмогорова-Смирнова.............................................................................................

43

Задача 3: сопоставление эмпирического распределения с теоретическим ............................

49

Задача 4: сопоставление двух эмпирических распределений..................................................

50

Лабораторная работа №4 .....................................................................................................................

52

Аппрксимация опытных данных методом наименьших квадратов............................................

52

Задача 1..........................................................................................................................................

53

Пример решения задачи аппроксимации в Ms Excel................................................................

54

Линейная корреляция. Линии регрессии .......................................................................................

57

Задача 2..........................................................................................................................................

62

Пример нахождения коэффициента корреляции и уравнений линейной регрессии в Ms

 

Excel...............................................................................................................................................

 

66

Ранговая корреляция. Коэффициент ранговой корреляции rs Спирмена...................................

68

Задача 3..........................................................................................................................................

71

Литература

............................................................................................................................................

74

Введение

В данном пособии содержатся теоретические сведения, необходимые таблицы и варианты индивидуальных лабораторных работ по математическим методам в психологии.

Приведен список литературы, рекомендованной для более глубокого изучения рассмотренных вопросов.

Это пособие содержит разработки 4 лабораторных работы, достаточно полно характеризующих основные подходы и критерии, используемые при использовании математических методов в психологии.

Правила оформления лабораторных работ

Отчет по лабораторным работам (кроме лабораторной работы №1) сдается на листах формата A4 в рукописном виде или распечатанном на принтере и должен содержать

1.Титульный лист, на котором указывается номер лабораторной работы, её название, вариант, ФИО и номер группы студента.

2.Постановку задачи.

3.Предварительный анализ данных, содержащий обоснование применяемого критерия и проверка ограничений.

4.Формулировку статистических гипотез.

5.Промежуточные результаты расчетов.

6.Эмпирическое значение критерия и теоретические значения критерия для уровней значимости 0,05 и 0,01.

7.Сравнение эмпирического значения критерия с теоретическими и применения правила, позволяющего принять истинную и отклонить ложную гипотезы.

8.Выводы по лабораторной работе (математическая статистика).

9.Выводы по решаемой задаче (психология).

10.Список использованной литературы.

Лабораторная работа №1

По данной выборке (см. приложение к лабораторной работе №1) построить:

1)вариационный ряд;

2)статистическое распределение, разбив выборку на 10 равных интервалов;

3)построить полигон относительных частот;

4)выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, асимметрию, эксцесс;

5)доверительный интервал для оценки с надёжностью γ (см. вариант) неизвестного мате-

матического ожидания a, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ равно

«исправленному» среднему квадратическому отклонению s;

6)найти минимальный объём выборки при котором с надёжностью γ = 0,95 точность оцен-

ки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней рав-

на δ = 0,5.

Краткая теоретическая справка

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось п1 раз, х2

п2 раз, хk – пk и раз и ni = n – объем выборки. Наблюдаемые значения хi – называют вари-

антами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки ni/n=Wi

относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответст-

вующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1,n1), (x2,n2),…,(x k,nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi,, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi, ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1,W1), (x2,W2),…,(x k,Wk).

Выборочной средней x B называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения х1, х2,…, хn признака выборки объема п различны, то

xв = 1 (x1 + x2 ++ xn ) . n

Если же значения признака х1, х2,…, хk имеют соответственно частоты nl, п2, ..., nk причем п1 + n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ … + nk = п, то

 

 

 

в

=

 

 

ni xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выборочной дисперсией DB называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

признака генеральной совокупности от их среднего значения x B .

Если все значения х1, х2,…, хn

 

признака выборки объема n различны, то

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

N

 

 

 

1

N

 

2

 

 

 

D =

(x

 

 

 

 

)2

n =

 

 

 

x 2

 

x .

 

 

 

x

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

i

 

n

 

 

i

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же значения признака х1, х2,…,

х k имеют соответственно частоты n1, n2,…, n k, причем n1 +

n2+...+nk = n, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

k

 

 

 

1

k

2

D =

n (x

 

 

 

 

)2 n

=

 

 

 

 

n x 2

 

n x

 

 

x

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

i i

 

 

n

i i

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исправленная дисперсия, которую обычно обозначают через s2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

B )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni (xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 =

D

=

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

n −1

 

 

 

n −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исправленная дисперсия является, несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение s, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии.

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения определяются равенствами

as = m3/σ3в, ek = m4/σ4 в 3;

здесь σв – выборочное среднее квадратическое отклонение; m3 и m4 – центральные эмпирические моменты третьего и четвёртого порядков:

m3 = (ni (xi x )3 )/ n, m4 = (ni (xi x )4 )/ n ,

или

m3 = M3 3M2M1 + 2M13.

m4 = M4 4M3M1 + 6M2M12 3M14,

где M k = (ni xik ) / n – начальные моменты k-го порядка.

Доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр а с надёжностью γ:

(x − tσ / n; x + tσ / n) ; точность оценки δ = tσ / n .

Число t определяется из равенства 2Ф(t) = γ, или Ф(t) = γ/2; по таблице функции Лапласа нахо-

дят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное γ/2.

Замечание. Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью δ и надежностью γ, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле n = t2σ2/δ2.

Пример выполнения лабораторной работы в Ms Excel

86

81

76

80

84

85

 

 

 

 

95

77

85

95

89

83

 

 

 

 

82

77

76

71

87

68

 

 

 

 

89

64

81

90

72

97

 

 

 

 

91

75

80

79

85

83

 

 

 

 

78

94

87

103

70

87

 

 

 

 

90

70

82

99

81

89

 

 

 

 

84

79

78

74

81

75

 

 

 

 

81

76

73

81

89

93

 

 

 

 

89

85

83

92

84

72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xmin=

64

64

 

 

 

 

 

 

 

 

Xmax=

103

104

 

 

 

 

 

 

 

 

R=

39

40

 

 

 

 

 

 

 

 

h=

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xпр

Xc

ni

νi

Xcni

X2cni

 

X3cni

X4cni

64

68

66

2

0,033

132

8712

574992

37949472

68

72

70

5

0,083

350

24500

1715000

120050000

72

76

74

7

0,117

518

38332

2836568

209906032

76

80

78

8

0,133

624

48672

3796416

296120448

80

84

82

14

0,233

1148

94136

7719152

632970464

84

88

86

8

0,133

688

59168

5088448

437606528

88

92

90

9

0,150

810

72900

6561000

590490000

92

96

94

4

0,067

376

35344

3322336

312299584

96

100

98

2

0,033

196

19208

1882384

184473632

100

104

102

1

0,017

102

10404

1061208

108243216

 

 

 

 

60

 

4944

411376

3,5E+07

2,93E+09

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xвыб=

82,40

M1=

82,4

m3=

41,728

 

 

 

Dвыб=

66,51

M2=

6856,26667

m4=

11176

 

 

 

S2=

67,63

M3=

575958,4

 

 

 

 

 

σвыб=

8,16

M4=

48835156,3

 

 

 

 

 

S=

8,22

 

 

 

 

 

 

 

As=

0,08

 

 

 

 

 

 

 

Es=

-0,47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ=

0,90

 

 

 

 

 

 

 

t=

1,64

 

Доверительный интервал

 

 

 

 

 

δ=

1,75

(

80,65

84,15

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ=

0,95

 

 

 

 

 

 

 

t=

1,96

 

 

 

 

 

 

 

δ=

0,50

 

 

 

 

 

 

 

N=

1039,25

 

 

 

 

 

 

 

Минимальный объем выборки, обеспечивающий заданную точность: 1040

Замечание. Для нахождения абсолютных частот в Ms Excel можно воспользоваться функцией =ЧАСТОТА(A1:F10;B18:B27), в которой первый аргумент – блок в котором располагаются исходные данные, второй аргумент – правые границы частичных интервалов. Функция матричная, для корректного её использования необходимо воспользоваться следующим алгоритмом: а) выделяется блок, в котором должны располагаться результаты; б) вводится формула; в) заверша-

ется операция нажатием [Ctrl]+[Shift]+[Enter]. Найти решение уравнения Ф(t) = γ/2 относитель-

но переменной t можно воспользовавшись функцией =НОРМОБР(0,5+НАДЕЖНОСТЬ/2;0;1),

где НАДЕЖНОСТЬ – значение γ.

 

 

 

 

Приложение к лабораторной работе №1. Варианты заданий

Вариант 1 (γ = 0,95)

 

 

 

Вариант 4 (γ = 0,95)

 

 

 

81

81

86

89

77

82

71

62

69

77

67

62

85

85

85

78

85

81

78

63

65

65

63

66

77

89

74

91

94

74

60

73

66

56

59

73

84

89

73

83

91

89

63

58

65

69

64

54

90

79

69

99

69

92

72

64

61

59

68

68

82

87

81

89

85

102

60

66

67

76

69

62

82

77

84

79

78

83

56

69

66

60

49

61

90

82

89

85

75

90

67

67

55

62

71

70

81

82

100

94

94

86

68

62

72

62

74

74

63

79

87

75

93

70

53

67

59

56

63

70

Вариант 2 (γ = 0,99)

 

 

Вариант 5 (γ = 0,9)

 

 

 

123

121

134

121

115

105

97

96

99

98

91

90

135

118

112

130

106

119

87

95

97

96

88

120

104

129

118

128

123

123

107

87

100

90

88

100

128

119

113

126

114

119

79

102

94

102

100

101

100

121

135

127

119

120

97

99

104

103

86

105

114

114

131

109

95

130

81

98

104

105

94

103

123

122

125

124

127

117

100

86

91

97

105

104

110

126

141

132

116

129

83

101

110

87

97

90

97

119

128

144

129

121

86

98

80

93

116

87

123

122

105

112

133

119

94

102

101

83

100

98

Вариант 3 (γ = 0,9)

 

 

 

Вариант 6 (γ = 0,95)

 

 

91

81

103

94

70

92

74

81

76

80

84

85

79

93

70

108

81

90

95

77

72

95

89

83

86

72

102

75

112

75

82

77

76

71

87

68

96

71

87

98

89

95

89

64

81

90

72

97

79

94

88

93

95

98

91

75

83

79

85

83

90

104

86

93

68

54

78

94

87

103

70

87

105

79

87

73

69

85

90

70

82

99

81

89

82

86

85

55

73

78

84

79

78

74

81

75

109

89

89

90

89

88

81

76

73

81

89

93

66

98

79

90

108

79

89

85

83

92

84

72