![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2.2. Производные и дифференциалы. Понятие производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Понятие дифференциала и его геометрический смысл.
- •Задания для самостоятельной работы.
2.2. Производные и дифференциалы. Понятие производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Непрерывность дифференцируемой функции.
Пусть на некотором
промежутке
определена функция
.
Возьмем любую точку
.
Зададим аргументу
произвольное приращение
такое, что точка
также будет принадлежать
.
Функция получит приращение
.
Производной
функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению
аргумента при стремлении последнего к
нулю (при условии, что этот предел
существует), т.е.
.
Если для некоторого
значения
выполняется условие
или
,
т.е. пределы равны бесконечности, то
говорят, что в точке
функция имеетбесконечную
производную.
Если функция
имеет конечную
производную в каждой точке
,
то производную
можно рассматривать как функцию
,
также определенную на
.
Нахождение производной функции называетсядифференцированием
функции.
Если функция в точке
имеет конечную производную, то функция
называетсядифференцируемой
в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках
промежутка
,
называетсядифференцируемой
на этом промежутке.
Задача о
касательной. Пусть
на плоскости
дана непрерывная функция
и необходимо найти уравнение касательной
к этой кривой в точке
.
Уравнение прямой
по точке
,
принадлежащей этой прямой, и угловому
коэффициенту имеет вид:
,
где
,
(
угол наклона прямой).
Из
(рис. 1) найдем тангенс угла наклона
секущей
:
.
Рис. 1.
Если точку
приближать к точке
,
то угол
будет стремиться к углу
,
т.е. при
.
Следовательно,
.
Из задачи о
касательной следует геометрический
смысл производной:
производная
есть угловой
коэффициент
(тангенс
угла наклона) касательной,
проведенной к кривой
в точке
,
т.е.
.
Следовательно, уравнение касательной
к кривой
в точке
примет вид
.
Нормалью
к кривой в данной точке называется
прямая, проходящая через данную точку,
перпендикулярная к касательной в этой
точке. Уравнение нормали к кривой
в точке
имеет вид:
.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение: Придавая
аргументу
приращение
,
найдем соответствующее приращение
функции:
.
Составим отношение:
.
Найдем предел этого отношения при
:
.
Механический
смысл производной.
Производная пути по времени
есть скорость точки
в момент
,
т.е.
.
Функция
называетсядифференцируемой
в точке
,
если ее приращение
в этой точке можно представить в виде
,
где
– некоторое число, не зависящее от
,
а
– функция аргумента
,
являющаяся бесконечно малой при
,
т.е.
.
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.
Теорема.
Для того чтобы функция
была дифференцируемой в данной точке
,
необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке конечную производную.
Пример.
Доказать, что функция
недифференцируема в точке
.
Решение: Производная
функции (если она существует) равна
.
При
производная не существует, так как
отношение
т.е. не имеет предела при
(ни конечного, ни бесконечного).
Геометрически, это означает отсутствие
касательной к кривой в точке
.
Теорема.
Если функция
дифференцируема
в точке
,
то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема
неверна, если функция непрерывна в
данной точке, то она не обязательно
дифференцируема в этой точке. Так,
функция
непрерывна в точке
,
ибо
но, как было доказано ранее недифференцируема
в этой точке.
Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие ее дифференцируемости.
Замечание:
Производная непрерывной функции не
обязательно непрерывна. Если функция
имеет непрерывную производную на
некотором промежутке
,
то функция называетсягладкой
на этом промежутке.
Если же производная функция допускает
конечное число точек разрыва, то такая
функция на данном промежутке называется
кусочно
гладкой.
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет следующим условиям: 1.
непрерывна на отрезке
;
2. дифференцируема на интервале
;
3. на концах отрезка принимает равные
значения, т.е.
.
Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна точка
,
в которой производная функции равна
нулю:
.
Геометрический
смысл теоремы Ролля.
При выполнении условий теоремы внутри
отрезка
найдется точка
,
в которой касательная, проведенная к
графику функции
,
параллельна оси
(рис.
2). Таких
точек на интервале
может быть и несколько, но теорема
утверждает существование по крайней
мере одной такой точки.
Замечание.
Пусть
.
Тогда
и
– нули функции
,
и между ними найдется такая точка
,
что
.
Таким образом, из теоремы Ролля следует,
что между нулями дифференцируемой
функции находится хотя бы один нуль
производной (рис.
3).
Рис. 2. |
Рис. 3. |
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет следующим условиям: 1.
непрерывна на отрезке
;
2. дифференцируема на интервале
.
Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна точка
,
в которой выполняется равенство:
.
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Геометрический
смысл теоремы
Лагранжа заключается в том, что при
выполнении условий теоремы внутри
отрезка
найдется точка
,
в которой касательная, проведенная к
графику функции
,
параллельна хорде
(рис.
4). Таких
точек может быть и несколько, но одна
существует точно.
Рис. 4.
Следствие.
При выполнении условий теоремы Лагранжа
.
Эту формулу называютформулой
конечных приращений.
Производная
функции
может быть найдена по схеме:
Дадим аргументу приращение
и найдем наращение значений функции
.
Находим приращение функции
.
Составляем отношение
.
Находим предел этого отношения при
, т.е.
(если этот предел существует).