![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра математики
- •Метод Эйлера
- •2. Метод Рунге-Кутта
- •Содержание ргр "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений"
- •Варианты
- •Образец выполнения ргр
- •Точное решение
- •Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера.
- •3. Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта
Брянская государственная инженерно-технологическая академия
Кафедра математики
Утверждены
Редакционно-издательским
Советом БГИТА
Протокол № 11 от
24.12.2004 г.
Методические указания и задания к выполнению
расчетно-графической работы по теме:
"Приближенные методы решения
дифференциальных уравнений"
для студентов дневной формы обучения
всех специальностей
Брянск 2004
Составители: ассистент Нечистик В.В.,
ст. преподаватель Тайц В.И.,
доцент Камозина О.В.
Рецензент: к. ф.-м. н., доцент Евтюхов К.Н.
Рекомендованы редакционно-издательской комиссией механического факультета
Протокол №1 от 28.09.2004г.
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений.
Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому важное значение приобретают приближенные методы решения.
Существуют два метода численного решения дифференциальных уравнений 1-го порядка: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.
-
Метод Эйлера
Для данного уравнения 1-го порядка
(1)
можно составить таблицу приближенных значений частного решения, удовлетворяющего начальному условию
(2)
или
приближенно вычертить интегральную
кривую на некотором отрезке[].
По
методу Эйлера данный отрезок []
разбивается точками
на
n
частичных
отрезков.
На
первом частичном отрезке []
искомая интегральная кривая, проходящая
через известную точку M0(
)
заменяется касательной к ней в точке
,
Откуда
при
получается
приближенное значение
искомого решения уравнения в точке
.
Далее
тем же способом для отрезка []
находим приближенное значение
искомого
решения в точке
.
Продолжая
этот процесс, последовательно
находим приближенные значения
искомого
решения в точках
.
С
увеличением
,
при достаточно малой длине частичных
отрезков, этим
методом
можно достигнуть заданной точности
решения.
Данный
отрезок []
удобно разделить на частичные отрезки
одинаковой длины
(шаг).
Тогда
все последовательные приближенные
значения
решения уравнения (1),
удовлетворяющего
начальному условию (2), вычисляются по
рекуррентной формуле
.
Таким
образом, по методу Эйлера интегральную
кривую, проходящую через точку
,
заменяют ломаной (ломаной Эйлера), каждый
отрезок которой проведен по направлению
поля, определенного уравнением (1).
Иными
словами, от предыдущей вершины ломаной
к последующей двигаются по касательной
к интегральной кривой, проведенной
через начальную точку каждого отрезка.
Недостатки метода Эйлера:
1.
Малая
точность при значительном шаге
большой объем работ при малом шаге.
2. Систематическое накопление ошибок.
Поэтому метод Эйлера применяют лишь для грубых приближений.
Расчет ведется по следующей схеме:
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|