![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
вища матем. 1-2 к.р
..docx
Варіант 18.
Контрольна робота №1
Елементи лінійної алгебри
-
Довести сумісність даної системи лінійних рівнянь і розв’язати її двома способами:
-
За допомогою правила Крамера
-
Засобами матричного числення
-
Для того, щоб довести сумісність системи лінійних рівнянь і розв’язати її за допомогою правила Крамера, необхідно знайти визначник матриці, елементами якої є коефіцієнти при невідомих (головний визначник системи), а також допоміжні визначники, одержані із головного визначника, заміною і–го стовпчика стовпцем вільних членів. Після цього проводиться аналіз:
а)
Якщо
то система має єдиний розв’язок, який
знаходиться за формулою:
б)
Якщо
і
-
система несумісна або має безліч
розв’язків, для знаходження відповіді
необхідні додаткові дослідження.
Знайдемо головний і допоміжні визначники системи:
,
Оскільки
система
сумісна і має один розв’язок.
Використавши
формулу
,
знайдемо всі невідомі:
Виконаємо перевірку, підставивши отримані значення змінних у початкову систему:
Отже,
- розв’язок заданої системи рівнянь.
-
Розв’язування системи лінійних рівнянь засобами матричного числення зводиться до знаходження
, де Х – матриця невідомих, В – матриця вільних членів,
- матриця, обернена до А:
.
Обернена матриця знаходиться наступним чином:
-
Перевіряємо, чи є матриця невиродженою (
);
-
Складаємо союзну матрицю, елементами якої є алгебраїчні доповнення елементів матриці А
-
Транспонуємо союзну матрицю
-
Кожний елемент утвореної матриці ділимо на значення визначника.
Знайдемо обернену до А матрицю:
,
тобто матриця є невиродженою, отже, для
неї можна знайти обернену.
Запишемо алгебраїчні доповнення до кожного з елементів матриці А:
Використовуючи
формулу
,
знайдемо матрицю Х:
Виконаємо
перевірку:
Перевірка
показала, що матриця
є
єдиним розв’язком даної системи рівнянь.
Відповідь:
Векторна алгебра
-
Дано вектори
та
, де
,
,
.
Знайти:
а)
;
б)
.
а)
Оскільки
,
,
,
маємо:
В отриману формулу підставимо задані значення:
б)
Відповідь:
-
Вершини піраміди знаходяться у точках А, В, С та Д.
Обчислити:
-
Довжину ребра АВ;
-
Кут між ребрами АВ і АС;
-
Площу грані АВС;
-
Об’єм піраміди АВСД.
Зробити рисунок.
А(3;-2;6) В(-6;-2;3) С(1;1;-4) Д(4;6;-7).
-
Довжина ребра АВ буде визначатися як довжина вектора
. Таким чином:
-
Для знаходження кута між ребрами АВ і АС використаємо означення скалярного добутку:
-
Площа грані АВС обчислюється за формулою
Обчислимо значення площі:
-
Об’єм піраміди дорівнює
Тоді
Відповідь:
1)
2)
3)
4)
Аналітична геометрія на площині
-
Дано вершини трикутник АВС:
,
,
.
Знайти:
а) рівняння сторони АВ;
б) рівняння висоти СН;
в) рівняння медіани АМ;
г) точку N перетину медіани АМ і висоти СН;
д) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно до сторони АВ;
е) відстань від точки С до прямої АВ.
А(4;-4) В(8;2) С(3;8)
а)
В загальному вигляді рівняння прямої,
що проходить через дві точки, має вигляд
.
Для сторони АВ воно набуває вигляду
б)
Висота
,
тому
.
Тоді рівняння СН набуває вигляду
Для знаходження
використаємо координати точки С, яка
точно належить даній прямій:
Отже,
рівняння висоти СН:
в) Медіана АМ виходить з точки А і ділить відрізок ВС навпіл в точці М.
Для початку знайдемо координати точки М:
Тепер запишемо рівняння АМ за допомогою рівняння прямої, що проходить через дві точки А та М:
г)
Оскільки точка
перетину медіани АМ та висоти СН належить
обом цим прямим, то вона задовольняє
обидва рівняння. Тоді маємо систему:
Розв’яжемо дану систему за допомогою правила Крамера:
Отже,
.
д)
Для паралельний прямих кутові коефіцієнти
рівні, тому
,
тоді рівняння набуває вигляду
Оскільки точка С належить шуканій
прямій, маємо рівність:
Тоді
рівняння шуканої прямої:
е) Для знаходження від точки С до прямої АВ використаємо формулу
Звідси
маємо наступне:
-
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої віддалена від прямої
на відстань, у п’ять разів більшу, ніж від точки А(4;-3).
Нехай
точка
належить даній лінії. Тоді відстань від
цієї точки до точки
і
відстань від М
до деякої точки В,
такої, що довжина відрізка МВ
дорівнює відстані від точки М
до прямої
,
складають відносяться як
.
Оскільки МВ
– відстань від точки М
до прямої
,
то координати точки
Врахувавши ці дані, запишемо наступну
рівність:
Виконаємо перевірку:
Відповідь:
шукана
лінія – еліпс, заданий рівнянням
Контрольна робота №2
Вступ до математичного аналізу
2.1. Знайти значення функції, не користуючись правилом Лопіталя:
а)
Поділимо
чисельник і знаменник на змінну у
найвищому степені, тобто на
:
б)
Помножимо
чисельник і знаменник на вираз, спряжений
до чисельника, тобто на
:
в)
Позбудемося
даної невизначеності, використовуючи
першу чудову границю
:
г)
Розкриємо
дану границю за допомогою другої чудової
границі:
Для того, щоб можна було використати
другу чудову границю, проведемо заміну
Тоді маємо наступне:
Застосуємо
другу чудову границю. Для цього піднесемо
значення виразу до ступеню
:
Відповідь:
а) 7; б)
;
в) 2; г)
2.2. Дослідити неперервність функції. Зробити схематичний рисунок
а)
Якщо
для кожної точки а інтервалу
виконується умова:
,
то дана функція є неперервною на даному
інтервалі, в іншому точка а є точкою
розриву.
Знайдемо критичні точки даної функції та перевіримо, чи є вони точками розриву:
Перевіримо,
чи є точка
точкою розриву:
,
тому точка
є точкою розриву другого роду, оскільки
границя
Таким
чином, інтервали неперервності:
б)
Функції
однозначно є неперервними.
Перевіримо,
чи є точками розриву точки
та
Отже,
точка
є точкою розриву першого роду та точкою
стрибка.
Таким
чином, точка
не є точкою розриву.
Отже,
інтервали неперервності:
.
Відповідь:
а)
б)
Диференціальне числення однієї змінної
2.3.
Знайти похідні
даних функцій
а)
б)
в)
г)
Маємо складну показникову функцію, оскільки і основа, і степінь залежать від х. Для того, щоб продиференціювати дану функцію, прологарифмуємо її:
Очевидно,
що
Тоді:
д)
Візьмемо тангенс лівої та правої частини :
Продиференцюємо
ліву та праву частини рівняння, вважаючи,
що
:
Відповідь:
а)
б)
в)
г)
д)
2.4.
Знайти
та
для заданих функцій
а)
б)
,
а)
б)
,
Для
знаходження
та
використаємо
наступні формули:
Знайдемо
спочатку
Відповідь:
а)
б)
2.5.
Скласти рівняння нормалі і дотичної до
даної кривої у точці з абсцисою
Рівняння
дотичної до графіка диференційованої
функції
у точці
,
де
,
має вигляд
Рівняння
нормалі у тій же точці
Ордината
точки дотику
Обчислимо значення похідної у точці
Тоді
рівняння дотичної має вигляд:
Запишемо
рівняння нормалі:
Відповідь:
рівняння дотичної:
рівняння нормалі