![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
-
Побудувати рівносторонній трикутник так, щоб одна вершина його була в даній точці А, друга - на даній прямій
і третя - на даному колі
.
-
Дано дві прямі
і
, точка
і кут величиною
. Провести коло з центром А, на якому
і
, відсікають дугу з кутовою величиною
.
-
Дано
і в його середині – точку
. Побудувати рівнобедрений прямокутний
з вершиною прямого кута в т.
так, щоб точки D і
лежали на сторонах
і
кута
.
-
Побудувати рівнобедрений трикутник
, якщо дано його вершину
і
, так, щоб дві інші вершини лежали на даному колі.
-
Дано два концентричні кола. Побудувати квадрат так, щоб дві його суміжні вершини лежали на одному колі, а дві інші - на другому.
-
Побудувати правильний шестикутник за його центром і точками
і
, які лежать на прямих, що містять його суміжні сторони.
-
Побудувати квадрат, дві суміжні вершини якого належать даному колу, а діагоналі перетинаються в даній точці.
3.3. Метод центральної симетрії
Для ефективного застосування методу центральної симетрії до розв'язування задач на побудову необхідно добре вміти будувати образи найпростіших фігур (точки, прямої, променя, відрізка, кола і т. ін.) при центральній симетрії, знати найпростіші властивості перетворення центральної симетрії (інваріантні відносно цього перетворення фігури, числові інваріанти і т. ін.). Успіх застосування цього методу залежить, зокрема, від вдалого вибору центра симетрії.
Можливості розв'язування задач методом центральної симетрії проілюструємо на прикладах.
Задача
1.
Побудувати квадрат
,
якщо
дана його центр
і
дві точки
і
відповідно
на сторонах
і
(Рис.
43).
Аналіз.
Точка
-
центр симетрії квадрата, тому
при
центральній симетрії
відносно
т.
маємо:
,
;
,
N
План
побудови
-
,
.
-
-
;
;
-
;
; D
Дослідження. 1. Якщо т.
,
і
не лежать на одній прямій, то кожний пункт плану побудови можна виконати однозначно і тому задача має 1 розв'язок.
2.
Точки
,
і
лежать
на одній прямій, але
та
не
є симетричними відносно т.
-
задача розв'язку не
має
3.
і
симетричні
відносно
,
задача
невизначена (безліч розв'язків).
Задача
2. Через
дану точку
провести
пряму так, щоб її відрізок з кінцями на
даній прямій
і
даному колі
ділився
точкою А
навпіл
(Рис. 44).
Аналіз.
Нехай
і
дані
пряма і коло,
-
шуканий
відрізок
і
.
За
умовою задачі
.
Нехай
.
Тоді
із того, що
отримуємо,
що
.
Отже
.
План побудови
Оскільки
центрально симетричні прямі паралельні,
то для побудови прямої
досить
побудувати образ
будь-якої
точки
прямої
і
через т.
провести
пряму
,
паралельну
.
Доведення.
Маємо,
що
.
Доведемо,
що
.
З
п. 1
.
З
п. 2
.
З
другого боку,
,
тобто
.
Дослідження.
Пряма
однозначно
визначається прямою
і
точкою
.
Точок перетину прямої
з
колом
може бути не більше двох. Отже, задача
має два розв'язки, один розв'язок або не
має розв'язку, що залежить від взаємного
розміщення даних фігур, т.
,
прямої
та
кола
.
Задача
3. Дано
кола
і
,
що
перетинаються, і відрізок
.Через
точку
перетину даних кіл провести січну
так,
щоб
(Рис.
45).
Аналіз.
Нехай
є
шуканою прямою. Для того, щоб зобразити
на малюнку різницю
,
відкладемо
на промені
від
його початку відрізок
так,
щоб
.
Тоді
і
,
а
.
Проведемо
,
,
.
Тоді
.
Нехай.
Тоді
,
є
прямокутним і тому
.
Якщо
- середина
,
то
.
Шукана пряма
проходить
через точку
паралельно
до прямої
,
(або
ж перпендикулярно до
(OH)).
План побудови
-
;
-
-
-
Доведення.
В зв'язку з тим, що
,
то точки перетину їх з
і
теж
симетричні відносно
точки
.
,
.
Отже,
.
Дослідження.
Пункти
1 і 3 побудови завжди можна виконати
однозначно. Кількість розв'язків задачі
залежить від кількості точок
.
При
2
розв'язки
(див. Рис. 34), при
нема
розв'язку.
Задачі для самостійного розв'язування
-
Дано прямі, які перетинаються, і точка, що лежить на цих прямих. Побудувати відрізок з кінцями на даних прямих і серединою в даній точці.
-
Через точку А перетину двох кіл провести пряму, на якій ці кола відтинають рівні хорди.
-
Всередині кута з вершиною О дана точка М. Побудувати пряму ОМ, не використовуючи точки О.
-
Побудувати паралелограм дві протилежні вершини якого були б розміщені в даних точках, а дві інші - на даному колі.
-
Через дану точку Р, що лежить всередині даного кута, провести пряму так, щоб її відрізок, обмежений сторонами кута, ділився точкою Р навпіл.