![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Действия с матрицами
- •1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).
- •3) Действие третье. Транспонирование матрицы
- •4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.
- •5) Действие пятое. Умножение матриц.
- •Как вычислить определитель?
- •Как найти обратную матрицу?
- •1) Сначала находим определитель матрицы.
- •2) Находим матрицу миноров
- •3) Находим матрицу алгебраических дополнений
- •4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
- •5) Ответ.
- •1) Находим определитель матрицы.
- •2) Находим матрицу миноров
- •3) Находим матрицу алгебраических дополнений
- •4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
- •5) Ответ:
- •Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников
- •Пределы функций. Примеры решений
- •1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов.
- •1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
- •2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.Д.
- •Замечательные пределы. Примеры решений
- •Частные производные. Примеры решений
- •3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (, либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений
Действия с матрицами
Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можетебесплатно скачать матричный калькулятор >>>.
Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.
Начнем.
Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.
Обозначение: матрицы
обычно обозначают прописными латинскими
буквами
Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:
Данная
матрица состоит из шести элементов:
Все
числа (элементы) внутри матрицы
существуют сами по себе, то есть ни о
каком вычитании речи не идет:
Это
просто таблица (набор) чисел!
Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!
Рассматриваемая
матрица имеет две строки:
и
три столбца:
СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».
Если
количество строк и столбцов матрицы
совпадает, то матрицу называют квадратной,
например: –
матрица «три на три».
Если
в матрице один столбец или
одна строка
,
то такие матрицы также называют векторами.
На
самом деле понятие матрицы мы знаем
еще со школы, рассмотрим, например точку
с координатами «икс» и «игрек»: .
По существу, координаты точки
записаны
в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам
и пример, почему порядок чисел имеет
значение:
и
–
это две совершенно разные точки
плоскости.
Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:
1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).
Вернемся
к нашей матрице .
Как вы наверняка заметили, в данной
матрице слишком много отрицательных
чисел. Это очень неудобно с точки зрения
выполнения различных действий с
матрицей, неудобно писать столько
минусов, да и просто в оформлении
некрасиво выглядит.
Вынесем
минус за пределы матрицы, сменив у
КАЖДОГО элемента матрицы знак:
У
нуля, как Вы понимаете, знак не меняется,
ноль – он и в Африке ноль.
Обратный
пример: .
Выглядит безобразно.
Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:
Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому-что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.
2) Действие второе. Умножение матрицы на число.
Пример:
Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.
Еще один полезный пример:
–
умножение
матрицы на дробь
Сначала
рассмотрим то, чего делать НЕ
НАДО:
Вносить
дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это
только затрудняет дальнейшие действия
с матрицей, во-вторых, затрудняет
проверку решения преподавателем
(особенно, если
–
окончательный ответ задания).
И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:
Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.
Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:
А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
Пример:
В
этом случае можно и НУЖНО умножить
все элементы матрицы на ,
так как все числа матрицы делятся на
2 без
остатка.
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.